Conexión de ruta de un conjunto

Question

Me estoy encontrando muy difícil de probar o refutar la siguiente declaración.

Si $A$ es una familia numerable de muchas líneas en $\mathbb{R}^3$ $\mathbb{R}^3\setminus A$ es camino conectado.

Agradeceria si alguien me podria dar una elemental prueba de ello, tal vez usando estándar geometría y álgebra lineal.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Elija una línea de $L$ que no es coplanar con alguna de las líneas en $A$. Tal $L$ existe, porque las direcciones prohibidas por cualquiera de línea en $A$ formar un gran círculo sobre la unidad en la esfera de dirección en el $\mathbb R^3$, y countably muchos círculos no cubrir la totalidad de la esfera. Ahora dados dos puntos cualesquiera $p,q\in\mathbb R^3\setminus A$, trate de unirse a $p$ $q$por un camino que va de $p$ a un punto de $x$ $L$ y, a continuación, de$x$$q$. Algunas de las opciones de $x$ no funciona, porque el camino de éxitos de una de las líneas en $A$. Pero, gracias a la no-coplanarity en la elección de $L$, ninguna línea en particular en $A$ causas de problemas por sólo (en la mayoría) de las dos $x$'s, una bloqueando el segmento de $p$ $x$y un bloqueando el segmento de$x$$q$. Así que todos, pero countably muchos $x$'s $L$ no ejecutar en problemas.

Answer 2

Tome una familia de arcos circulares en una esfera, indexado por algunos continuo (como $[0,1]$), que conecta estos dos puntos. Cada línea puede cruzan en más de dos líneas.

Expansión por dfeuer:

Deje $x,y \in \Bbb R^3\setminus A$.

Deje $S$ ser la esfera hueca con un diámetro $\overline{xy}$.

Deje $\mathcal H$ el conjunto de semicírculos en $S$ conectar $x$$y$. Si usted se imagina, $S$ de la superficie de la Tierra con $x$ en el polo norte y $y$ en el polo sur, a continuación, $\mathcal H$ es el conjunto de todas las líneas de longitud. Tenga en cuenta que cualquiera de los dos elementos de $\mathcal H$ se cruzan sólo en los polos $x$$y$.

Cualquier línea de $L\subseteq A$ debe intersectar la esfera en $0$, $1$, o $2$ puntos. Desde $x,y\notin A$, la línea no pueden cruzarse la esfera en uno de los polos, de modo que cada lugar se golpea la esfera sólo puede tener un elemento de $\mathcal H$ ejecuta a través de él. Así, la línea puede golpear en la mayoría de los dos elementos de la $\mathcal H$. Ya que hay una cantidad no numerable de las líneas de longitud, debe haber al menos uno que no golpear cualquier línea en $A$.

Answer 3

Deje $x\in\Bbb R^3\setminus A$. Para cada línea de $\ell\subseteq A$ hay un único plano de $P_\ell$ contiene $x$$\ell$. El conjunto de esos planos, $P_\ell$ es sólo contables, por lo que hay un avión $P$ contiene $x$ que no contiene ninguna de las líneas en $A$. Cada línea en $A$ por lo tanto se cruza con $P$ en más de un punto, por lo $P\cap A$ es contable.

Deje $y$ ser cualquier otro punto de $\Bbb R^3\setminus A$; por el mismo razonamiento, no es un avión $Q$ contiene $y$ tal que $Q\cap A$ es contable. Por otra parte, podemos optar $Q$, de modo que no es paralelo a $P$. Deje $\ell=P\cap Q$. Para cada una de las $z\in\ell$ tenga en cuenta la ruta de acceso que consta de los segmentos de línea $\overline{xz}$$\overline{zy}$. Desde $P\cap A$ es contable, y $\ell$ es incontable, sólo hay countably muchos $z\in\ell$ tal que $\overline{xz}\cap A\ne\varnothing$; deje $B_P=\{z\in\ell:\overline{xz}\cap A\ne\varnothing\}$. Del mismo modo, sólo hay countably muchos $z\in\ell$ tal que $\overline{zy}\cap A\ne\varnothing$, y dejamos $B_Q=\{z\in\ell:\overline{zy}\cap A\ne\varnothing\}$. $B_P\cup B_Q$ es contable, y $\ell$ es incontable, por lo que elegir cualquier $z\in\ell\setminus(B_P\cup B_Q)$; a continuación, $\overline{xz}\cup\overline{zy}$ es un camino de$x$$y$$\Bbb R^3\setminus A$.