Básicamente demostrado: Cada subsequence de $(f_n)$ tiene un (sub-)subsequence que converge uniformemente a cero (¿por qué?).
El primer punto en el enlace que he proporcionado en un comentario afirma que, a continuación, la secuencia de $(f_n)$ sí debe converger a cero.
He aquí por qué: Supongamos $f_{n}$ no converge uniformemente a cero. A continuación, hay un $\varepsilon \gt 0$ y una larga $f_{n_j}$ con sup-norma $\|f_{n_j}\|_{\infty} \geq \varepsilon$ todos los $j$. Esta larga tiene nuevamente un convergentes larga por Arzelà-Ascoli. Su argumento muestra que su límite debe ser cero, por lo tanto a la larga debe tener el uniforme de la norma $\lt \varepsilon$ finalmente, la contradicción.
Aquí está el resumen cosa:
Deje $x_n$ ser una secuencia en un espacio métrico $(X,d)$. Supongamos que no es $x \in X$ de manera tal que cada subsequence $(x_{n_j})$ tiene un subsubsequence $(x_{n_{j_k}})$ convergentes a $x$. A continuación, la misma secuencia converge a $x$.
Edit: Como leo señaló en un comentario debajo de lo contrario también es cierto: una secuencia convergente, obviamente, tiene la propiedad de que cada tiene una larga convergente subsubsequence.
La prueba es trivial, pero inevitablemente utiliza feo notación: Supongamos $x_n$ no converge a $x$. Entonces no es $\varepsilon \gt 0$ y una larga $(x_{n_j})$ tal que $d(x,x_{n_j}) \geq \varepsilon$ todos los $j$. Por supuesto, hay un subsubsequence $x_{n_{j_k}}$ convergentes a $x$. Pero esto significa que $d(x,x_{n_{j_k}}) \lt \varepsilon$ $k$ lo suficientemente grande. Imposible!
La forma en que esta se aplica generalmente en "situaciones concretas", es mostrar
- Si una larga converge, entonces debe converger a un determinado $x$. Esto implica un análisis de la situación específica—por lo general es la parte difícil y eso es lo que hizo.
- La apelación a la compacidad para encontrar un convergentes subsubsequence de cada subsequence—que es la trivial parte he contribuido.
