Correspondencia ideal

Question

Estoy confundiendo el teorema de la correspondencia ideal. ¿Es correcto lo siguiente?

Correspondencia ideal: Dejemos que $f:A \to B$ sea un homomorfismo de anillo. Entonces existe una correspondencia de uno a uno que preserva el orden entre los ideales de $f(A)$ y los ideales de $A$ que contienen $\ker(f)$ por $\alpha \mapsto f(\alpha)$ (a la inversa $\beta \mapsto f^{-1}(\beta)$ ), y los ideales primos corresponden a los ideales primos, y los ideales máximos corresponden a los ideales máximos.

Answer 1

Sí. Para mí, todo es mucho menos confuso si piensas en los ideales $I$ en términos de los correspondientes mapas cotizados $A \to A/I$ . Entonces los ideales de $f(A)$ son precisamente los mapas de cociente $f(A) \to f(A)/I$ que se compone con el mapa $A \to f(A)$ son precisamente esos mapas $A \to f(A) \to f(A)/I$ que se factoriza a través de $f(A)$ - es decir, que tienen un núcleo que contiene $\ker(f)$ .

Además, un ideal $I$ es primo si y sólo si $A/I$ es un dominio integral y maximal si y sólo si $A/I$ es un campo. Por lo tanto, si $f(A) \to f(A)/I$ tiene imagen un dominio integral entonces la composición $A \to f(A) \to f(A)/I$ también tiene imagen un dominio integral, y lo mismo es cierto si se sustituye "dominio integral" por "campo". Otras propiedades de los ideales también se pueden enunciar de esta manera, por lo que también se pueden recuperar: por ejemplo, un ideal $I$ es radical si y sólo si $A/I$ no tiene nilpotentes.

Answer 2

Sí. Se podría hacer consistente la dirección de la correspondencia diciendo que los ideales de $A$ que contienen ker( $f$ ) ir a los ideales de $f(A)$ en $\alpha$ que va a $f(\alpha)$ pero está claro que tienes la idea correcta. En este mapeo los ideales primos que contienen ker( $f$ ) van a los ideales primos de $f(A)$ y así también con los ideales máximos que contienen ker( $f$ ) que van a los ideales máximos de $f(A)$ . La declaración podría ser un poco más concisa si exigimos $f$ en, para que $f(A)$ se sustituye en la declaración por $B$ .