Demuestra que si cada fila de una matriz suma cero, entonces no tiene inversa.

Question

¿Podría alguien ayudarme con esta prueba sin usar el determinante? Lo he intentado de dos maneras.

Dejemos que $A$ sea una matriz. Si $A$ tiene la propiedad de que cada fila suma cero, entonces no existe ninguna matriz $X$ tal que $AX=I$ , donde $I$ denota la matriz de identidad.

Entonces me quedo atascado. La otra forma era demostrar por contradicción, y también fallé.

Answer 1

Una pista: Se pueden sumar los elementos de una fila multiplicando esta fila por un vector de $1$ 's. ¿Puedes encontrar ahora una matriz $X$ (con las columnas adecuadas) tal que $AX=Ο$ ?

Answer 2

Si la suma de las filas es cero, entonces la matriz tiene el valor propio $0$ . Como resultado, su $\ker$ es de dimensión $\ge1$ es decir, existe una solución no nula para $AX=0$ por lo que no es invertible

Answer 3

Suponiendo que $A$ es un $n \times n$ matriz, dejemos que $v_0 = (0,0,\dots,0)$ y $v_1 = (1,1,\dots,1)$ sea $n$ -vectores columna de elementos. Como cada fila de $A$ suma cero, se deduce que $$A v_1 = (0,0,\dots,0) = A v_0,$$ demostrando que $A$ no puede tener una inversa (izquierda).

Answer 4

Si cada fila de $A$ suma cero, entonces cada fila del vector columna que es la suma de los vectores columna que constituyen $A$ es cero. Así que las columnas de $A$ no son linealmente independientes, por lo que la matriz es singular (es decir, no tiene inversa).

Answer 5

Una pista: Para una matriz $A$ que tiene una propiedad de este tipo tiene vector $(1,1,...,1)$ en su núcleo dando así $\dim(\ker A)>0$ .