Desigualdad sobre $f(t)=\int_{0}^t \sqrt{\cos(x)} dx$

Question

Durante mi proyecto, me encontré con el siguiente función definida para todos los $\displaystyle t\in[0,\frac{\pi}{2}]$ por : $$f(t)=\int_{0}^t \sqrt{\cos(x)} dx$$

y necesito demostrar la desigualdad a continuación :

$$\forall x,y >0\ \ \ \ x+y\leq\frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{f(x+y)^2}{\sin(x+y)}\leq \frac{f(x)^2}{\sin(x)}+\frac{f(y)^2}{\sin(y)} $$

Yo no sé realmente si la desigualdad es verdadera o no , lo que sé es que quiero que sea verdad, para que yo pueda seguir adelante en mi trabajo.

Preguntas

1. Hay una forma cerrada para la función de $\displaystyle f$?.
2. Podemos probar la desigualdad anterior.

Para la primera pregunta para $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ tenemos $\displaystyle f(\frac{\pi}{2})=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma(\frac{3}{4})^2$ (ver walframalpha) y para los otros valores de $\displaystyle t$, mathematica hizo uso de la integral elíptica y no sé sus propiedades muy bien, Utilizando los valores de algunos elementos con los que se conjeturó que : $$ f(t)=2 E(\frac{t}{2}|2) $$ $\displaystyle E(x,m)$ es la integral elíptica con el segundo tipo con el parámetro $\displaystyle k=m^2$

Esta igualdad sea verdadera? puede que esto me ayude a resolver la segunda pregunta?

Actualización : utilizando la definición de la integral elíptica he demostrado que: $$ f(t)=2 E(\frac{t}{2}|2) $$ por tanto, la primera cuestión se resuelve, pero todavía no puedo utilizar las propiedades de los eleptic integrales para demostrar la desigualdad, creo que no hay ninguna esperanza de que la desigualdad es verdadera.

Cualquier ayuda o comentario será muy apreciada,Gracias.

Answer 1

Si $g(0) = 0$, $g'(x) \geq 0$ y $g''(x)\leq 0$ luego

$$g(x+y) - g(x) = \int_x^{x+y} g'(t)dt = \int_0^{y} g'(t+x)dt \leq \int_0^{y} g'(t)dt = g(y)$$

que nos da

$$g(x+y) \leq g(x) + g(y)$$

Si definimos

$$g(x) = \frac{f^2(x)}{\sin(x)}$$

entonces $\lim\limits_{x\to 0}g(x) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2\cos(x)}{\sin(x)} = 0$ y probar la desigualdad debemos mostrar que $g'(x)\geq 0$ y $g''(x)\leq 0$.

Tomar $w = \frac{f(x)\sqrt{\cos(x)}}{\sin(x)}$ para encontrar

$$g'(x) = 1 -\left(1 - w\right)^2$$

$$g''(x) = -2\left(1 - w\right)\cot(x)\left(\left(\frac{\tan^2(x)}{2}+1\right)w-1\right)$$

Ahora tenemos que mostrar $1 \geq w\geq \frac{1}{\frac{\tan^2(x)}{2}+1} = \frac{2\cos^2(t)}{1 + \cos^2(t)}$. La primera desigualdad, $w\leq 1$, se desprende

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(x)}} - f(x)\right) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^{3/2}(x)} \geq 0$$

y la segunda desigualdad sigue forma

$$\frac{d}{dx}\left(f(x) - \frac{2\cos^{3/2}(x)\sin(x)}{(1 + \cos^2(x))}\right) = \frac{4\sqrt{\cos(x)}\sin^2(x)}{(1+\cos^2(x))^2} \geq 0$$