Para encontrar el área de las curvas que son extensión de elipse

Question

Me gusta dibujar una elipse a través de 2 puntos fijos y una cuerda entre los puntos fijos (2 se centra). Quería extender la idea. El punto a,B,C,D son puntos fijos y el Punto E se puede mover libremente. El punto E,B,C tienen pequeñas poleas sin fricción y también sus perímetros son muy pequeñas. (Tomar cero para el cálculo teórico)

Si fijamos una cuerda en el Punto a, a continuación, va el Punto E y, a continuación, el Punto B, entonces C entonces E y, finalmente, fijar de nuevo en el Punto D, como se muestra en la figura anterior. Si nos movemos E, mientras que la cuerda se estira, se puede dibujar una curva similar a la de la elipse.

Podemos expresar la ecuación de la curva cerrada, como muestra el gráfico anterior :

$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{(x+b)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{(x-b)^2+y^2}=l-2b$$

Donde $l$ es la longitud de la cuerda.

Esta es una curva simétrica sobre x y y líneas como la de la elipse.

Mis preguntas:

• ¿Hay algún nombre especial de este tipo de curvas?
• ¿Cuál es la fórmula del área de dicha curva cerrada? Es la fórmula similar, como el círculo y la elipse se inicia con $\pi$ como $\pi.f(a,b,l)$ ?

Traté de coordenadas polares transformar pero no he podido encontrar el área.

Podemos hacer muchas combinaciones con diferente número de puntos fijos. No hay límite de tales curvas cerradas :

Otro ejemplo es:

3 puntos fijos (uno punto fijo con una pequeña polea) Podemos obtener esta curva si seleccionamos los puntos B y C en el mismo punto de $P(x_1,y_1)$ en la figura de arriba.

$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+2\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=l$$

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Primero de todo, me centré en el caso más simple (2 punto final fijo, fijo de 1 punto con polea en origen)

Podemos obtener esta curva si seleccionamos $b=0$ en la figura de arriba.

$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+2\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=l$$ $x=r\cos \alpha$

$y=r\sin \alpha$

$$\sqrt{r^2+a^2-2ax}+2r+\sqrt{r^2+a^2+2ax}=l$$

$$2r^2+2a^2+2\sqrt{r^2+a^2-2ax}\sqrt{r^2+a^2+2ax}=(l-2r)^2$$

$$2\sqrt{r^2+a^2-2ax}\sqrt{r^2+a^2+2ax}=2r^2-4rl+l^2-2a^2$$

$$4(r^2+a^2-2ax)(r^2+a^2+2ax)=(2r^2-4rl+l^2-2a^2)^2$$

$$4(r^2+a^2)^2-16a^2x^2=(2r^2-4rl+l^2-2a^2)^2$$

$$4(r^2+a^2)^2-16a^2r^2\cos^2 \alpha =(2r^2-4rl+l^2-2a^2)^2$$

$$4(r^2+a^2)^2 -(2r^2-4rl+l^2-2a^2)^2=16a^2r^2\cos^2 \alpha$$

$$(4r^2-4rl+l^2)(4a^2+4rl-l^2)=16a^2r^2\cos^2 \alpha$$

Si ampliamos los términos, tendremos un polinomio con grado de $3$.

$r^3+(m+n\cos^2 \alpha)r^2+tr+k=0$

Y mi objetivo es encontrar el área de la curva cerrada.

$$A = 4 \int_{0}^{\pi/2} \frac{r^2}{2} d \alpha $$

Estoy atascado en este punto, porque yo no veo que la solución fácil después de aquí. Por favor me ayude si puede ver cómo resolver la integral.

Muchas gracias por la ayuda

Nota:se puede encontrar fácilmente los puntos en el eje X de la curva ,$ (+\frac{l}{4},0) ; (-\frac{l}{4},0)$

El punto en el eje Y de la curva , $(0,+\frac{l}{4}-\frac{a^2}{l}) ; (0,-\frac{l}{4}+\frac{a^2}{l})$

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, el lugar geométrico de los puntos cuya suma de la distancia de n puntos dados es constante se llama n-elipse.

La imagen muestra que una 4-elipse; sin pérdida de generalidad, se puede cambiar la escala de la figura, por lo que B y C están en $(\pm1,0)$ (la a y la D, a $(\pm a,0)$), luego hacer caso omiso de la parte de la cuerda estirada a través de BC para que $l=\mathsf{AE+BE+CE+DE}$. El locus de E es el lugar geométrico de la intersección de dos elipse centrada en el origen:

• Uno tiene focos B y C y los ejes de $k$ $\sqrt{k^2-1}$
• El otro tiene focos a y D y los ejes de $m$$\sqrt{m^2-a^2}$, $2(k+m)=l$ $$\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{k^2-1}=1; \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{m^2-a^2}=1$$

Después de algunos manipulación algebraica encontramos $$x^2=\frac{m^2k^2(m^2-a^2-k^2+1)}{m^2-a^2k^2}$$ $$y^2=\frac{(k^2-m^2)(m^2-a^2)(k^2-1)}{m^2-a^2k^2}$$ Desde la manipulación de todo esto sería demasiado tedioso, tome $a=2$ $l=8$ como un ejemplo. Las expresiones se reducen a $$x^2=\frac{(4-k)^2k^2(13-8k)}{16-8k-3k^2}$$ $$y^2=\frac{(8k-16)(12-8k+k^2)(k^2-1)}{16-8k-3k^2}$$ Deje $X=x^2$$Y=y^2$. La resultante de $X(k)$$Y(k)$, la curva implícita de la ecuación, es quintic de X y de y: $$-6720X^5 + (-42688Y + 524160)X^4 + (-104128Y^2 + 2625248Y - 13608000)X^3 + (-123456Y^3 + 4595473Y^2 - 50494240Y + 139856640)X^2 + (-71680Y^4 + 3405920Y^3 - 55511328Y^2 + 349444224Y - 591252480)X + (-16384Y^5 + 911616Y^4 - 19293696Y^3 + 188524800Y^2 - 792115200Y + 870912000)=0$$ Y aquí es una bonita parcela de esta curva, con los puntos rojos en$(\pm1,0)$$(\pm2,0)$:

Ahora para la parte principal de mi respuesta: no es posible hallar el área limitada por esta curva analíticamente, ya sea por la ecuación paramétrica o resultante, debido a que las ecuaciones para x y y solo contienen una raíz cuadrada dentro de ellos que impide el uso de técnicas de integración de funciones racionales, y porque el quintic expresión en X y Y no es solucionable. Lo que yo haría para encontrar su área numéricamente es la siguiente:

• Para muchos valores positivos de x, encontrar el correspondiente yvalor (que también será positivo)
• Uso de los puntos de muestreo para estimar el área de la curva en el primer cuadrante
• Ya que la curva es simétrica alrededor de los x- y y-ejes, multiplicar la estimación por 4 para obtener el área total

Hacerlo con la por encima de la curva de rendimientos resultado de 7.614914 (a 6 decimales).

Los cálculos para las 3 de la elipse son similares, sino que implican la intersección de la elipse con un círculo.