Soluciones a la medida!

Question

Que $a, b, c \in \mathbb{N}_0$. Si $a+b+c=12$, ¿cuántas soluciones $(a,b,c)$ satisface la ecuación?

Es la respuesta:

$729$

Answer 1

Sugerencia: Imagine que pones $12$ monedas sobre una mesa, lado a lado en una línea horizontal con un espaciamiento entre ellos. Tienes $2$ lápices que cada uno de los cuales se puede poner entre dos de las monedas. Los lápices de $2$ separan estos $12$ monedas en tres grupos. Estos tres grupos representan el % de números $a$, $b$ y $c$. Ahora contamos...

Answer 2

$a=0$ La fuerza, entonces, $b+c=12$ ha $13$ soluciones. $a=1$ La fuerza, entonces, $b+c=11$ ha $12$ soluciones. En general, obligando a $a=n$ rendimientos $13-n$ soluciones. Ya que se puede ejecutar $a$ $0$ $12$, el número total de soluciones es % $\sum_{n=0}^{12}(13-n)=91$en general la ecuación de $a+b+c=m$ $\binom{m+2}{2}$ soluciones en $\mathbb{N}_0$.

Answer 3

Uso de funciones generatrices. Es la función generadora para $\mathbb{N}_0$

$$1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{1}{1-x}$$

Es decir, que el número de maneras de escribir un número entero $n$ como un número entero es $1$ y la serie cuyo coeficiente de $x^n$ es que el valor es $\frac{1}{1-x}$.

La función generadora de la suma de tres números enteros es entonces esa función elevada a la potencia tercera:

$$\frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+2}{2} x^n.$$

Answer 4

Si N₀ se refiere a los números naturales {1, 2,...}, entonces la respuesta es 54
otra cosa si se refiere a número entero {0,1,2,...}, entonces la respuesta es 87 si no me equivoco.