Unitización de $C^{*}$-álgebras de vía doble centralizadores

Question

En la mayoría de los libros que he leído acerca de $C^{*}$-álgebras, el autor normalmente incorpora el álgebra, dicen, $A$, como un ideal de a $B(A)$, el álgebra de limitada lineal de operadores en $A$, mediante la identificación de $a$$M_a$, el de la izquierda de la multiplicación de las $a$.

Sin embargo, en Murphy's $C^{*}$-álgebras y operador de la teoría, $A$ está incrustado como un ideal en el espacio de "doble centralizadores'. Ver p39 de su libro.

Yo no entiendo muy bien por qué necesitamos esta complicada la construcción ya que el efecto es casi el mismo que el habitual de la incrustación. El autor comentó que esta construcción es útil en ciertos acercamientos a la K-teoría, lo que más me confunde.

Puede alguien dar una sugerencia? Gracias!

Answer 1

Hay un mínimo de manera de incorporar un nonunital $C^*$-álgebra $A$ en un unital $C^*$-álgebra. Como un $*$-álgebra esto es $A\oplus \mathbb C$ con las componentes, además, con la multiplicación de la $(a,s)(b,t)=(ab+ta+sb,st)$, y con la involución $(a,s)^*=(a^*,\overline s)$. Pero para dar este álgebra $C^*$ norma, es un método para identificar con $\{L_a:a\in A\}+\mathbb C\mathrm{id}_A\subset B(A)$ donde $L_a:A\to A$ está definido por $L_ab=ab$. Entonces, uno puede comprobar que el operador de la norma de esta álgebra como un subespacio de $B(A)$ $C^*$ norma.

También hay un máximo de entretejer una nonunital $C^*$-álgebra $A$ en un unital $C^*$-álgebra como un ideal en un "imprescindible". El lo esencial es capturado por el que se estipule que cada ideal distinto de cero en la unitarización se cruza con $A$ trivial. Esto es equivalente a la condición de que $bA=\{0\}$ implica $b=0$. Como mland mencionado, esta máxima de la unificación es el multiplicador de álgebra de $A$, $M(A)$. El doble enfoque centralizador es una particular descripción concreta, sino $M(A)$ tiene otros decriptions y se caracteriza por una característica universal: Para todos los involucración $A$ esencial ideal en un $C^*$-álgebra $B$, no hay una única $*$-homomorphism de $B$ $M(A)$que es la identidad en $A$.

t.b. se ha mencionado ya que en la conmutativa caso de que este se ejecuta en paralelo a la de un punto respecto de Piedra–Čech compactification.

Aquí hay otro ejemplo. El álgebra $K(H)$ de los operadores compactos en un infinito dimensional espacio de Hilbert $H$ tiene un mínimo de unificación (isomorfo a) $K(H)+\mathbb CI_H$, y el multiplicador de álgebra (isomorfo a) $B(H)$.

Una de las razones que lo desea, puede ir todo el camino a $M(A)$ es una mejor comprensión de automorfismos de a $A$. La conjugación por un único elemento de $M(A)$ es un automorphism de $A$. En el caso de $K(H)\subset B(H)\cong M(K(H))$, cada automorphism es de esta forma, y que no pudo obtener la mayoría de estos automorfismos sólo por la conjugación de por unitaries en el mínimo de unificación $K(H)+\mathbb C I_H$.

El enfoque mencionado por mland de la identificación de $M(A)$ con el álgebra de adjointable operadores en $A$ se puede encontrar en el Lance de Hilbert C*-módulos o en el Ej y Williams Morita equivalencia y traza continua C*-álgebras con mucho más útil información introductoria en cada uno. Estoy de acuerdo con mland que para los fundamentos de la K-teoría, usted no necesita entrar en multiplicador de álgebras, pero usted puede aprender más acerca de su importancia en la K-teoría de Blackadar de la K-teoría de las álgebras de operadores. El capítulo VI se describe como una colección de "todos los resultados necesarios para Ext-teoría y Kasparov teoría," y comienza con una revisión de multiplicador de álgebras y ejemplos.

Answer 2

El conjunto de doble centralizadores de una $C^*$-álgebra $A$ usualmente es llamado también el multiplicador de álgebra $\mathcal{M}(A)$. Es, en cierto sentido, el más grande de $C^*$-álgebra que contiene $A$ esencial ideal y unital. Si $A$ ya es unital es igual a $A$. (Mientras que en la construcción de un unitalisation tenemos que para unital $A$ el unitalisation es isomorfo como un álgebra de a $A\oplus \mathbb{C}$.

Multiplicador de álgebras también puede ser construido como el álgebra de adjointable operadores de Hilbert módulo de $A$ sobre sí mismo. Ya en $KK$ teoría de Hilbert módulos son objeto central, y $K$ teoría es el caso especial de las $KK$ teoría, esto podría ser una razón por la que es bueno introducir estos multiplicador de álgebras muy temprano.

Pero si quieres aprender los conceptos básicos de la teoría, creo que este concepto no es tan importante, sin embargo.