Hay un mínimo de manera de incorporar un nonunital $C^*$-álgebra $A$ en un unital $C^*$-álgebra. Como un $*$-álgebra esto es $A\oplus \mathbb C$ con las componentes, además, con la multiplicación de la $(a,s)(b,t)=(ab+ta+sb,st)$, y con la involución $(a,s)^*=(a^*,\overline s)$. Pero para dar este álgebra $C^*$ norma, es un método para identificar con $\{L_a:a\in A\}+\mathbb C\mathrm{id}_A\subset B(A)$ donde $L_a:A\to A$ está definido por $L_ab=ab$. Entonces, uno puede comprobar que el operador de la norma de esta álgebra como un subespacio de $B(A)$ $C^*$ norma.
También hay un máximo de entretejer una nonunital $C^*$-álgebra $A$ en un unital $C^*$-álgebra como un ideal en un "imprescindible". El lo esencial es capturado por el que se estipule que cada ideal distinto de cero en la unitarización se cruza con $A$ trivial. Esto es equivalente a la condición de que $bA=\{0\}$ implica $b=0$. Como mland mencionado, esta máxima de la unificación es el multiplicador de álgebra de $A$, $M(A)$. El doble enfoque centralizador es una particular descripción concreta, sino $M(A)$ tiene otros decriptions y se caracteriza por una característica universal: Para todos los involucración $A$ esencial ideal en un $C^*$-álgebra $B$, no hay una única $*$-homomorphism de $B$ $M(A)$que es la identidad en $A$.
t.b. se ha mencionado ya que en la conmutativa caso de que este se ejecuta en paralelo a la de un punto respecto de Piedra–Čech compactification.
Aquí hay otro ejemplo. El álgebra $K(H)$ de los operadores compactos en un infinito dimensional espacio de Hilbert $H$ tiene un mínimo de unificación (isomorfo a) $K(H)+\mathbb CI_H$, y el multiplicador de álgebra (isomorfo a) $B(H)$.
Una de las razones que lo desea, puede ir todo el camino a $M(A)$ es una mejor comprensión de automorfismos de a $A$. La conjugación por un único elemento de $M(A)$ es un automorphism de $A$. En el caso de $K(H)\subset B(H)\cong M(K(H))$, cada automorphism es de esta forma, y que no pudo obtener la mayoría de estos automorfismos sólo por la conjugación de por unitaries en el mínimo de unificación $K(H)+\mathbb C I_H$.
El enfoque mencionado por mland de la identificación de $M(A)$ con el álgebra de adjointable operadores en $A$ se puede encontrar en el Lance de Hilbert C*-módulos o en el Ej y Williams Morita equivalencia y traza continua C*-álgebras con mucho más útil información introductoria en cada uno. Estoy de acuerdo con mland que para los fundamentos de la K-teoría, usted no necesita entrar en multiplicador de álgebras, pero usted puede aprender más acerca de su importancia en la K-teoría de Blackadar de la K-teoría de las álgebras de operadores. El capítulo VI se describe como una colección de "todos los resultados necesarios para Ext-teoría y Kasparov teoría," y comienza con una revisión de multiplicador de álgebras y ejemplos.
