Secuencia del acorde del círculo

Question

Este es mi primer post, así que bien!

Cuando yo estaba en mi primer clase de Geometría en la escuela secundaria, le pregunté a la maestra el siguiente:

Dado un círculo de radio 2a, encontrar la longitud de la cuerda que corre paralela al diámetro del círculo que el semicírculo cortado por el acorde está dividido en dos regiones de igual área.

El maestro me miró como si él sabía la respuesta, pero luego se detuvo, perplejo, y me dijo que deberíamos trabajar en él después de clase. Así lo hicimos, y fue en este momento que me presentaron a la trigonometría. Sin embargo, no encontramos una solución y el problema se presentó en la parte de atrás de mi memoria por algún tiempo. Un año y medio más tarde, al final de Álgebra 2/Trigonometría, el problema de la re-entró en mi conciencia y me llevó a otra grieta en ella. Después de una hora de trabajo he encontrado la solución! Yo estaba tan emocionado que me pregunté a mi maestro si podía presentar a la clase del segundo al último día de la escuela, y ella aceptó. Así que me lo presentó, pero la mierda se me olvidó mis notas y me jodido el trabajo que conduce a la solución y avergonzado de mí mismo delante de todo el mundo. Me limpié después de clase, cuando tenía más tiempo, pero por entonces sólo el real de los entusiastas de las matemáticas estaban a la izquierda. De todos modos, que estaba completamente tangencial, como ahora me gustaría plantear la pregunta que yo vine aquí con:

Skip to aquí si usted no se preocupan por nada, pero la matemática:

Dado un círculo de radio 2a, encontrar la secuencia de los números reales dado por la longitud de las sucesivas iteraciones de dividir el segmento resultante de una cuerda que corre paralela al diámetro de la circunferencia tal que el área del segmento se reduce a la mitad con cada una de las sucesivas sector.

Ah, y la respuesta a la primera pregunta es algo así como 0.71... o 0.79..., se me ha olvidado por ahora. Puntos de bonificación para la mayoría de la elegante solución del primer problema.

Answer 1

Wlog. el radio es $1$. La zona de la puntera abrazadas ángulo $\alpha$ del centro es $A(\alpha)=\frac12(\alpha-\sin\alpha)$. La longitud del segmento correspondiente es $2\sin\frac\alpha2$. Piden el % de secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty$tal que $x_n=2\sin\frac{\alpha_n}2$ y $A(\alpha_n)=\frac\pi2\cdot2^{-n}$. Esto puede sólo ser resuelto numéricamente. Las primeras aproximaciones de algunos (después son $x_0=2$): $$1.8295420351460716385409955906837076169, 1.5455097261234120202206332289590795207, 1.2678613848545969240544214118382796268, 1.0255171578787055775354919807723448528, 0.82317890720583251879913780639731025539, 0.65785871279582689026079790969165393609, 0.52435985537171345597016857982005882625, 0.41728294853497515917670605958970406336, 0.33174364554487851240387578246924654023, 0.26357709084095859727510715888869346114, 0.20933695838483619922846766000771974415, 0.16621859822603799414074748448500084143, 0.13196163045501028275182369205869205768, 0.10475492671579429585769886806519067206, 0.083152493022244344061029851545052090070, 0.066002402792776475648886352412199553896, 0.052388254185767766597240438200662186974, 0.041581640994898317827871218807935473777, 0.033003898345400309144536032806404103535, 0.026195475475160737053195360050566833997.$ $ % grande $n$($\alpha$) que es pequeña se puede emplear la aproximación $A(\alpha)\approx \frac1{12}\alpha^3\approx\frac1{12}x^3$ ($\sin x=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5\mp\ldots$), por lo tanto %#% $ $$x_n\approx \sqrt[3]{12\cdot\frac\pi2\cdot 2^{-n}} =\frac{\sqrt[3]{6\pi}}{(\sqrt[3]2)^n}.$ #%, esta aproximación nos da $n=20$ en lugar del valor último de la lista de arriba.

Answer 2

El área de un segmento de un círculo de radio $r$ subtiende un ángulo de $\theta$ en el centro de es

$$\frac12 r^2 (\theta - \sin{\theta})$$

Para el segmento inicial (la mitad de un semicírculo), el ángulo de $\theta_1$ satisface

$$\theta_1-\sin{\theta_1} = \frac{\pi}{2}$$

Posterior ángulos de satisfacer

$$\theta_{n+1}-\sin{\theta_{n+1}} = \frac12 (\theta_{n}-\sin{\theta_{n}})$$

Todas estas ecuaciones requieren alguna solución numérica. La primera de las ecuaciones de los rendimientos de $\theta_1 \approx 2.30988$. La longitud de la cuerda es, a continuación,$2 r \sin{\theta_1/2}$, que, por $r=1$$\approx 1.82954$.

Nota, sin embargo, que usted puede deducir el comportamiento de la longitud de la cuerda para un gran $n$ mediante la observación de que

$$\theta_n-\sin{\theta_n} \sim \frac{\theta_n^3}{6}$$

Entonces

$$\theta_{n+1} \approx 2^{-1/3} \theta_n$$

lo que demuestra que, con cada una de las sucesivas iteraciones, la longitud de la cuerda disminuye por un factor de $2^{1/3}$, o alrededor de $26\% $.