Estoy tratando de conseguir la idea cómo podemos extender la $p$-adic valoración en $\mathbb Q$ a una extensión algebraica. En particular, cómo extender el $p$-adic valoración $p = 5$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q(5^{1/3})$. Gracias.
Respuesta
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El análogo de la $p$-ádico de valoración de un campo de número depende de la primer ideales de su anillo de enteros. Deje $K$ ser un campo numérico con el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$, y deje $\mathfrak{p}\lhd\mathcal{O}_K$ ser un no-cero prime. A continuación, para cualquier elemento no nulo $x\in K$, podemos factor de la fracción ideal $x\mathcal{O}_K\subset K$ únicamente en un producto de primer ideales, decir $x\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}_1^{e_1}\mathfrak{p}_2^{e_2}\cdots$, donde el $e_i\in\mathbb{Z}$ y cada una de las $\mathfrak{p}_i\lhd\mathcal{O}_K$ es primo. El $\mathfrak{p}_i$-ádico de valoración $\text{ord}_{\mathfrak{p}_i}(x)$ es entonces el exponente $e_i$ en el primer factorización de $x\mathcal{O}_K$.
En tu ejemplo, $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, la racional prime $5$ ramifies como $(5)=\mathfrak{p}^3$ donde $\mathfrak{p}=(5,\sqrt[3]{5})$, así que usted podría considerar la posibilidad de $\mathfrak{p}$-ádico de valoración en $K$.
