¿Si $T$ prueba $\operatorname{Con}(ZFC)$, es $T$ por lo menos tan fuerte como teoría de conjuntos?

Question

Estoy buscando ya sea una prueba de contraejemplo de esto:

Lema: Let $\pi$ ser una interpretación fiel de $PA$ $ZFC$, y que $PA'$ la imagen de $PA$ $\pi$. Si hay un $T$ % y $PA' \subset T$ $T$prueba $\operatorname{Con}(ZFC)$, entonces el $ZFC \subset T$.

Se siente demasiado bueno para ser verdad. Por desgracia tengo no hay contraejemplos o una prueba.

¡Gracias!

Answer 1

Para la mayoría de los pares de origen natural teorías, al menos uno de los incrusta en el otro (hay una jerarquía lineal de "consistencia de la fuerza") así que en efecto, la pregunta es si hay una débil de la teoría de conjuntos, o de una fuerte teoría de la aritmética, intermedio entre la PA y de ZFC. Varias de estas teorías de segundo orden de la aritmética, el pensamiento de la debilidad de los sistemas de análisis, se considera la prueba de la teoría y en la llamada Inversa de la Matemática que determina la lógica de la fuerza de particular teoremas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_arithmetic#Subsystems_of_second-order_arithmetic

EDIT: la pregunta fue cambiado a requerir Con(ZFC) no Con(PA), que es un asunto totalmente diferente. Se está preguntando si contar Con(ZFC) a una limitación de la teoría de la aritmética se le añade toda la prueba de la teoría de la potencia de la teoría de conjuntos, tales como la capacidad para demostrar todos los teoremas de la aritmética demostrable en la teoría de conjuntos. La respuesta debe ser "no", pero no sé una prueba.

Answer 2

La coherencia es una $\Pi_1$ declaración y en el hecho universal de las $\Pi_1$ declaración: si tenemos una fuerte base lo suficientemente teoría (es decir $\mathsf{I}\Delta_0$), a continuación, agregar la consistencia de $\mathsf{ZFC}$ nos permitirá obtener todos los $\Pi_1$ consecuencias de $\mathsf{ZFC}$ pero nada más, por ejemplo, no podemos demostrar la existencia de cualquier objeto nuevo.

Para la primera, tenemos que demostrar que podemos definir la verdad de $\Pi_1$-fórmulas, y que la consistencia de $\mathsf{ZFC}$ es equivalente a $\Pi_1$-solidez de $\mathsf{ZFC}$ (esto se deduce de la $\mathsf{ZFC}$ $\Sigma_1$- complete). Entonces si $\pi$ es una prueba de $\mathsf{ZFC} \vdash \varphi$, entonces es un objeto finito y por lo tanto se puede demostrar su existencia en $T$, y por $\Pi_1$-solidez seguiría $Tr(\varphi)$. A continuación, tenemos que demostrar que podemos derivar $\varphi$ $Tr(\varphi)$ (lo cual es demostrado por inducción sobre la estructura de las fórmulas).

Para el segundo, tenga en cuenta que la adición de $\Pi_1$ axiomas no implica la existencia de todos los objetos nuevos.

Answer 3

La respuesta a la pregunta del título es indeterminado, salvo que se especifique a qué se refiere con 'teoría'. Si por 'teoría' que significa ZFC, entonces, suponiendo que ZFC es consistente, $T$ será necesariamente tiene que ser más fuerte que ZFC desde cualquier teoría más fuerte que la aritmética no puede probar su propia consistencia por Gödel segundo teorema. (cf. Gentzen la prueba de Con(PA) para una situación análoga.)

El lema, como señaló Andrés, es falso. Por ejemplo, el uso de Gentzen de nuevo, $$\text{PA}+(\text{transfinite induction up to } \epsilon _0) \vdash \text{Con(PA)}$$ but in no way does that imply that PA+(transfinite induction up to $\epsilon _0$) es más fuerte que ZFC, no importa dónde usted interpretar PA.