rschwieb ya le dio el alto poder de respuesta. Aquí permítanme darles la baja potencia de la versión de lo que él escribió.
Considere la posibilidad de la colección de $2\times 2$ matrices con entradas real. Podemos escribir cada matriz como
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} $$
y si nos re-organizar la presentación, puede ser identificado con un elemento de $\mathbb{R}^4$
$$ \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D\end{pmatrix} $$
Por escritura como una matriz, se permiten a sí mismos para hacer de "multiplicación" por la multiplicación de la matriz.
Ahora, podemos escribir
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + B \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + C \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} + D \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} $$
que, si sabes un poco de álgebra lineal, es la simple expresión de la $2\times 2$ de la matriz en una base.
Como resulta que, lo que has hecho es básicamente la elección de una base diferente para la $2\times 2$ matrices. Usted eligió
$$ \mathbf{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} $$
y
$$ \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \quad \mathbf{k} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} $$
Podemos resolver el "estándar" $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ etc. en términos de esta nueva base. Enchufarlo a la expresión, a continuación, hemos
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix} = \frac{A}{2} (\mathbf{1} + \mathbf{k}) + \frac{B}{2} (-\mathbf{i} - \mathbf{j}) + \frac{C}{2} (\mathbf{i} - \mathbf{j}) + \frac{D}{2} (\mathbf{1} - \mathbf{k}) $$
Esta identificación puede ser revertido (ejercicio para usted!). Pero, en cualquier caso, su identificación de $a\mathbf{1} + b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k}$ $\mathbb{R}^4$ vector de $(a,b,c,d)$ corresponde entonces, a la identificación de la matriz $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}$ con el elemento
$$\begin{pmatrix} \frac12 (A + D) \\ \frac12 (C - B) \\ -\frac12 (B+C) \\ \frac12 (A-D) \end{pmatrix}$$
que puede ser realizado como la transformación lineal de $\mathbb{R}^4$ que puede ser realizado por una multiplicación de la matriz
$$ \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & 0 &\tfrac12 \\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 0 \\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 0 \\ \tfrac12 & 0 & 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D\end{pmatrix}$$
¿Cuál es la lección detrás de todo esto? Dado cualquiera de los cuatro números reales, por supuesto, usted puede identificar con un elemento de $\mathbb{R}^4$. La pregunta real comienza cuando se le pregunte "¿cómo es esta identificación significativa"? La primera cosa que usted puede hacer es probar un poco de álgebra lineal como he descrito. Pero las cosas se vuelven reales emocionante cuando usted comenzar con la conexión del álgebra a la geometría, y es donde el poder de la Álgebra de Clifford que rschwieb mencionado realmente brilla.
Por el momento, si no se puede absorber por completo el resumen tonterías en las definiciones de álgebras de Clifford, puede ser muy útil para establecer su meta un poco más baja y sólo piensan en álgebra geométrica. (Lamentablemente, el enlace de Wikipedia no es la mejor manera de aprender acerca de esto, lea esto primero, y si usted está interesado, tal vez de seguir un libro de texto como este.)
