Para Encontrar Los Autovalores

Question

Encontrar los valores propios de la $6\times 6$ matriz

$$\left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{de la matriz}\right]$$

Las opciones son $1, -1, i, -i$

Es un verdadero simétrica la matriz y los valores propios de una verdadera matriz simétrica son reales. Por lo tanto $i$ $-i$ no puede ser su autovalores. Entonces, ¿qué más podemos decir?
¿Hay alguna forma fácil de encontrarlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que , $$A=\left[\begin{matrix}O&I\\I&O\end{matrix}\right].$$where, $I_{3\times 3}$ and $O_{3\times 3}$ son la matriz Identidad y la matriz Cero, respectivamente.

Ahora, $AA^T=A^2=I_{6\times 6}\implies A$ es ortogonal. Así, eigen valores son o $1$ o $-1$. De nuevo, $det(A)=-1$.

Si todos los eigen valores de $1$$det(A)=1$ , contradicción. De nuevo, si todos los eigen valores de $-1$$det(A)=1$ , de nuevo una contradicción.

Por lo tanto , $1$ $-1$ ambos son eigen valores de $A$.

Answer 2

Considere la siguiente permutación, $$\sigma=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\4&5&6&1&2&3\end{matrix}\right)$$where , the matrix $Un$ is defined to be the one whose $i$-th column is the $\sigma(i)$-th column of the Identity matrix. Then order of the permutation $\sigma$ is $2$. So, $A^2=I$. So, $x^2-1$ is an anihilating polynomial of $$. As, $\=\pm I$ so, $x^2-1$ is the minimal polynomial of $$. So, $\pm 1$ are the eigen values of $$.

Answer 3

La matriz tiene el siguiente efecto en el estándar de los vectores de la base:

Es intercambiadores $e_1$ con $e_4$, $e_2$ con $e_5$, e $e_3$$e_6$. Así que los tres son linealmente independientes (check it!) vectores $e_1+e_4, e_2+e_5, e_3+e_6$ son fijos y por lo tanto son vectores propios con autovalor $+1$.

Compruebe también que el $e_1-e_4, e_2-e_5, e_3-e_6$ son enviados a sus puntos negativos, por lo tanto, son vectores propios de valor propio $-1$.

Como estos 6 vectores forman una base, $+1$ $-1$ son los únicos valores propios tanto de la multiplicidad $3$.

Answer 4

Vamos a llamar a la matriz $A$, y escribir $A$

$A = \begin{bmatrix} 0_3 & I_3 \\ I_3 & 0_3 \end{bmatrix}, \tag{1}$

donde $0_3$ $I_3$ $3 \times 3$ cero y la identidad de las matrices, respectivamente. Es fácil ver de bloquear la multiplicación de la matriz que

$A^2 = I_6, \tag{2}$

que a su vez implica que cualquier autovalores $\lambda$ satisfacer la ecuación

$\lambda^2 = 1 \tag{3}$

desde

$Av = \lambda v \tag{4}$

para algunos $v \ne 0$; por lo tanto

$v = I_6v = A^2 v = \lambda A v = \lambda^2 v \tag{5}$

o

$(\lambda^2 - 1)v = 0, \tag{6}$

forzamiento (3) dado que el $v$ no se desvanezca. Por lo tanto la única autovalores $A$ puede tener son $\lambda = \pm 1$. De hecho, las dos posibilidades de ocurrir: para cualquier columna de tres vectores $x \ne 0$, el seis-vector

$w = \begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} \tag{7}$

satisface

$Aw = w, \tag{8}$

mientras que

$y = \begin{pmatrix} x \\ -x \end{pmatrix} \tag{9}$

resuelve

$Ay = -y; \tag{10}$

por lo tanto las posibilidades de $\lambda = \pm 1$ se producen; los autovalores de a $A$ son , precisamente, $\pm 1$.

Bueno, que me parece una manera bastante fácil hacerlo; no teníamos para evaluar cualquier $6 \times 6$ determinantes, o hacer un montón de aritmética.

Por último, el anterior fácilmente se generaliza para demostrar que los valores propios de la $2n \times 2n$ matriz

$\begin{bmatrix} 0_n & I_n \\ I_n & 0_n \end{bmatrix} \tag{11}$

también son exactamente $1, -1$.

Answer 5

La matriz es circulantes. Por lo tanto, $SDS^{-1}$ es eigendecomposition, donde $S$ es la transformada rápida de fourier de $I_6$ $D$ es la matriz diagonal con los elementos de la FFT de la primera fila, que pasa a ser $diag([1,-1,1,-1,1,-1])$. Así que los valores propios son $-1$$1$.