¿$G/H$ Siempre es un subgrupo de $G$?

Question

Dado un subgrupo normal $H$ de un grupo finito $G$, hay siempre un inyectiva homomorphism $$\varphi:G/H\to G?$$ En otras palabras, es $G/H$ a un subgrupo de $G$?

Si tomamos cualquier elemento representativo de cada coset, se puede conseguir un inyectiva mapa de $\varphi:G/H\to G$, pero no estoy seguro de si podemos elegir siempre el $g_i$'s para obtener un homomorphism.

El requisito sería que si $\{g_i\}$ es el elegido conjunto de los representantes de los cosets de $G$$H$, entonces para cada a $i,j$ tenemos que $g_ig_j$ es el representante elegido por el coset $g_ig_jH$, es decir, $g_ig_jH=g_kH$ para $k$. Podemos elegir siempre algunas $g_i$ a satisfacer?

Answer 1

Jajaja Considerar el cuaternión grupo $Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$. El centro de $Q_8$ $\{1, -1\}$ y $Q_8/\{1, -1\} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, pero cada subgrupo cuatro del orden del $Q_8$ cíclico y por lo tanto isomorfo a $\mathbb{Z}_4$. $\mathbb{Z}_4 \not\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, No hay ningún subgrupo de $Q_8$ isomorfo a $Q_8/\{1, -1\}$.

Answer 2

No, no lo hay. Considerar el $\mathbb Z/3\mathbb Z$. Ello no obedece seguramente ningún subgrupo de $\mathbb Z$ $\mathbb Z$ tiene sólo un elemento de orden finito y $\mathbb Z/3\mathbb Z$ 3.