Decidir si una forma en el exterior poder $\bigwedge^k V$ es descomponible

Question

Que $V$ ser un espacio del vector y $\bigwedge^kV$ el poder exterior de $k$ th. Estoy tratando de encontrar una condición que se caracteriza cuando un elemento $\omega \in \bigwedge^kV$ es descomponible en el sentido que $\omega = v_1 \wedge ... \wedge v_k$ $v_i \in V$.

¿Ahora si $\omega$ es descomponible, entonces $\omega^2 = 0$ y se preguntó si la conversación es en el caso general? (¿O tal vez por algunas restricciones en la dimensión de $V$ o k?). Esto es trivial verdad $k=1$ pero no estoy seguro acerca de otros casos.

Answer 1

Para$k < 2$$k > \dim V - 2$, es siempre cierto que un $k$forma $\omega$ tanto es descomponible y satisface $\omega \wedge \omega = 0$.

Para $k = 2$ (y siempre que el terreno subyacente $V$ no tiene carácter $2$), la condición de $\omega \wedge \omega = 0$ es a la vez necesaria y suficiente para decomposability. (Demostrando que este es un buen ejercicio.)

El recíproco no es cierto en general, sin embargo. Si $k$ es impar, entonces todos los $k$formas de $\omega$ satisfacer $\omega \wedge \omega = 0$, pero no todos los impares-grado multivectors (o, doblemente, formas) son degradables:

Ejemplo Si $\dim V \geq 5$, elija una base $(E_a)$ e indicar la base dual por $(e_a)$. A continuación, el $3$-forma $$\psi := (e^1 \wedge e^2 + e^3 \wedge e^4) \wedge e^5$$ satisface $\psi \wedge \psi = 0$ pero podemos demostrar que es indecomposable: la Contratación de un vector en una descomponible forma de los rendimientos de un descomponible forma. En el otro lado, $$\iota_{E^5} \psi = e^1 \wedge e^2 + e^3 \wedge e^4 ,$$ and computing gives $(\iota_{E^5} \psi) \wedge (\iota_{E^5} \psi) \neq 0$, so by the criterion for $k = 2$, $\iota_{E^5} \psi$ es indecomposable.

Para $2 \leq k \leq \dim V - 2$, la mayoría de las $k$-las formas no son degradables, y podemos cuantificar esta afirmación: Para $0 \leq k \leq \dim V$ cualquier $k$-vector $E_{a_1} \wedge \cdots \wedge E_{a_k}$ determina una $k$-plano en $V$, es decir, $\langle E_{a_1}, \cdots, E_{a_k} \rangle$, y cualquier $k$-plano en $V$ determina una forma subyacente hasta un total de cero multiplicativo constante. Así, podemos considerar que el espacio de $D_k(V)$ (distinto de cero) descomponible $k$-se forma como una línea de paquete, en el espacio de todas las $k$-planos en $V$; este último espacio se llama el Grassmannian (colector), $Gr(k, V)$, y se ha dimensión $k (\dim V - k)$, lo $D_k(V)$ es un buen colector de dimensión $k (\dim V - k) + 1$. Por otro lado, el espacio de todos los $k$-formas tiene dimensión $n \choose k$, y para $2 \leq k \leq \dim V - 2$, $$\dim D_k(V) = k (\dim V - k) + 1 < {\dim V \choose k}$$ (but note that equality holds for $\dim V \leq 3$ and $1 \leq k \leq \dim V - 1$).

Alternativamente, el Plücker la incrustación se da cuenta de $Gr(k, V)$ como una variedad proyectiva en $\Bbb P(\Lambda^k V)$, y al $2 \leq k \leq \dim V - 2$ es apropiado subvariedad, por lo que su complemento es no vacío y Zariski-abierto (y por lo tanto, cuando el campo subyacente es $\Bbb R$ o $\Bbb C$, densa, con respecto a la topología usual).

Para un algoritmo que comprueba decomposability de un general $k$-forma, ver a esta vieja pregunta.