Probar o refutar $\gcd(q,r) \mid b$ si $a = bq + r$

Question

Probar o refutar $\gcd(q,r) \mid b$ si $a, b, q, r \in \Bbb{Z}^+ \ni a = bq +r$

Estoy bastante seguro es cierto (no puedo pensar en un ejemplo contrario), pero no veo cómo demostrarlo.

Algunos de mis planteamientos:

$d = \gcd(q,r)$

$d = \gcd(q, a-bq)$

Claramente $d\mid q$ y $d\mid r$ y $d\mid(a-bq)$, pero no veo ninguna manera a la conclusión de que $d\mid b$, y aproximándose desde el otro lado con $b = \frac{a-r}{q}$ no es ayuda tampoco.

Answer 1

Como dije en los comentarios, es falsa según lo indicado. La instrucción $\gcd(q,r)\mid b$ tiene nada que ver con $a$, así que somos libres de elegir $b,q$ y $r$.
Podemos tomar por ejemplo $b=1$ y $q=r=2$. O si quieres $0\leqslant r<q$, $b=1$, $q=4$, $r=2$.
¿Puede dar otro contraejemplo?