Símbolo "$\mid$" "tal que"

Question

Conozco el símbolo "tal que" $\mid$ de la definición de conjuntos: $$\{x \mid x \in \Bbb N \land x < 3\}$$

¿Está bien usar este símbolo fuera de los conjuntos? Por ejemplo, si quiero definir una función que tome un conjunto no vacío de números naturales y produzca el elemento menor de este conjunto, ¿puedo escribir:

$$f : \mathcal P (\Bbb N) \setminus \{ \emptyset\} \to \Bbb N \\ x \mapsto y \mid y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$

¿O un matemático me dispararía a la vista si escribiera esto?

EDITAR:

Gracias por tu comentario. Una propuesta que hiciste fue escribir "tal que" en palabras. Pero ¿esto no rompe el objetivo de una notación formal, es decir, su comprensión internacional? Si escribiera: $$x \mapsto y \text{ tal que } y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$ o $$x \mapsto y \text{ tal que } y \text{ sea el elemento mínimo del conjunto } x$$

¿No llevaría esto a malentendidos si el lector no habla español?

Para resumir la pregunta: ¿Cómo escribirías la función $f$ como se definió anteriormente?

Answer 1

Usted pregunta cómo escribiría esta función:

$$f : \mathcal P (\Bbb N) \setminus \{\} \to \Bbb N \\ x \mapsto y \mid y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$

Primero corregiría el error en la primera línea: usted quiere que el dominio sea la familia de subconjuntos no vacíos de $\Bbb N$, que es $\wp(\Bbb N)\setminus\{\varnothing\}$ o, si insiste en evitar la notación estándar para el conjunto vacío, $\wp(\Bbb N)\setminus\{\{\}\}$. Su $\wp(\Bbb N)\setminus\{\}=\wp(\Bbb N)$. Lo demás se puede comprimir fácilmente en una línea:

$$f:\wp(\Bbb N)\setminus\{\varnothing\}\to\Bbb N:x\mapsto\min x\;.$$

En mi opinión, $y=\min x$ es mucho más fácil de entender que ‘$y$ es el único elemento de $x$ tal que $y\le z$ para todo $z\in x’, ya sea que esto se exprese en inglés, en español o completamente en símbolos matemáticos.

Para la pregunta más general, no usaría $\mid$ para tal que en general, al igual que no usaría los dos puntos que prefiero para mi notación de conjuntos: no esperaría que se entendiera automáticamente (y yo mismo no lo entendería de inmediato). En el contexto dado, entendería tal que inmediatamente, y mi español es muy, muy limitado.

No considero la comprensibilidad internacional como un objetivo principal de la notación matemática, formal o (relativamente) informal. La función principal de una buena notación matemática en el uso matemático cotidiano es hacer que las matemáticas sean más fáciles de entender y seguir. (La notación destinada a facilitar la demostración mecánica de teoremas o algo similar es una excepción.)

Answer 2

Iría un poco más lejos incluso que la respuesta de Brian, y usaría más palabras y menos símbolos. (Por cierto, no estoy seguro de que su segundo dos puntos sea estándar.)

Simplemente diría "dado un conjunto no vacío $A$ de números naturales, denotamos su menor elemento por $f(A)$." Como dice Brian, esta función particular $f$ a menudo se llama simplemente $\min$.

Answer 3

En la universidad a la que asistí, se utilizaban s.t. y .э. (algunos profesores omitían los puntos en este último caso). Sin embargo, dudo que esto sea universal y imitaré a otros al decir que el lenguaje escrito es generalmente la mejor manera de transmitir significado. Proveniente de un trasfondo en estadística, por ejemplo, | típicamente significa "dados" para mí en lugar de "tal que" como algunas personas usan en notación de conjuntos (yo uso dos puntos como "tal que" en notación de conjuntos).

Además, cosas como э pueden ser utilizadas como, o al menos ser familiares, a las notaciones de "pertenece a" para conjuntos. Los matemáticos generalmente utilizan, reciclan y luego reutilizan notaciones una y otra vez, por lo que en una situación donde estás hablando con una audiencia general, las palabras son tu mejor amigo.