Teorema de Gauss-Bonnet para las esferas que parecen casi un toro

Question

^{[Corregido debido a Jason respuesta.]}

Imagina un toro y un disco plano de montaje en el medio de su "agujero" (una rosquilla con una membrana en el medio). Cortar el toro en su interior de ecuador, duplicar el disco, mueva las dos copias de distancia el uno del otro ligeramente, ampliar el corte de manera adecuada y unir los dos discos planos con las rodajas de toro (de todos modos que te gusta).

Usted obtener una superficie $M$ homeomórficos a la esfera, por lo tanto con la forma de la curvatura $\int_S\kappa = 4\pi$ - , pero con la forma de curvatura igual a la de los torus $\int_T\kappa = 0$, además de una contribución de las "regiones de aglutinación", donde los dos discos y las rodajas de toro están pegadas entre sí (los discos de por sí tener curvatura cero).

Es simplemente una consecuencia de la de Gauss-Bonnet teorema que sin embargo bien o abruptamente que pegar los dos discos y las rodajas de toro, junto a la integral de la curvatura en la "región de la aglutinación" tiene que ser $4\pi$?

O hay un error en mi descripción de la superficie o en mi la comprensión de Gauss-Bonnet teorema?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que la integral sobre el toro es $0$, no $2\pi$ (ya que la característica de Euler de un toro es $0$). Supongo que esto sólo hace que el resultado sea aún más sorprendente.

Hay (al menos) dos de las cosas que suceden que sumar el incremento neto de $4\pi$ para el total de la curvatura.

La primera nota que se está cortando exactamente los puntos de mayor curvatura negativa en el toro: Si usted se imagina giratorio un círculo alrededor de un eje para hacer el toro, a continuación, el fuera de semicírculo que gira a los puntos con los no-curvatura negativa, mientras que el interior semicírculo rotaciones a puntos con los no-curvatura positiva. Así que, en cierto sentido, de haber cortado el mayor contribuyente de curvatura negativa.

Por supuesto, usted puede objetar que realmente vas a cortar una muy pequeña porción, así que no debería afectar la respuesta es mucho, pero aquí es donde la otra parte entra en juego.

Con el fin de conectar la parte superior de la mitad del toro a la parte superior del disco de una manera suave, usted tiene que doblar el toro muy poco. Más específicamente, imaginar la rotación $(x-2)^2 + y^2$ $z$- eje para obtener el toro. Y sólo se centran en la semi-semicírculo en la parte superior izquierda de este círculo. Cerca del ecuador, la línea tangente es un número positivo grande. Con el fin de conectar con el disco (horizontal tangente), debe de inflexión de la gráfica por lo que este número muy grande se convierte en $0$. Que introduce una tonelada de la segunda derivada (ya que usted está doblando la tangente vectores mucho).

Lo que es más importante, si usted rota la parte de la gráfica de todo, la parte cerca del ecuador, se utiliza para contribuir con curvatura negativa, pero ahora está aportando una gran cantidad de curvatura positiva (porque es doblado tanto). Eso es cuando usted realmente conseguir el$4\pi$.