¿Qué término es más grande? Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Question

¿Qué término es más grande? Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Intenté AM-GM pero no lo logré.

Answer 1

Si elevamos ambos lados de $\sqrt[102]{101}$ $\sqrt[100]{100}$ $100$ de la energía que estamos comparando luego los $101^{100/102}$$100$. O en otras palabras $101^{50/51}$$100$. Levante ambos a la $51$ poder y estamos comparando $101^{50}$$100^{51}$.

Por lo tanto, es equivalente a comparar $101^{50}$$100^{51}$.

Por lo tanto, es equivalente a comparar $\left(\frac{101}{100}\right)^{50}$$100$.

Ahora $\left(\frac{101}{100}\right)^{50}=(1+\frac1{100})^{50}$

Usando el teorema del binomio esto es

$$\sum_{n=0}^{50}{50\choose n}\left(\frac{1}{100}\right)^{50-n}$$

Que es

$$\sum_{n=0}^{50}\frac{50!}{n!(50-n)!}\left(\frac{1}{100}\right)^{50-n}$$

$$=\sum_{n=0}^{50}\frac{50\cdot49\cdots(n+1)}{(50-n)!}\left(\frac{1}{100}\right)^{50-n}$$

Está claro que $\frac{50\cdot49\cdots(n+1)}{100^{50-n}}<1$ desde la parte superior es $50-n$ números de menos de $100$ y la parte inferior es $50-n$ copias de $100$.

Así $$=\sum_{n=0}^{50}\frac{50\cdot49\cdots(n+1)}{(50-n)!}\left(\frac{1}{100}\right)^{50-n}$$ $$<50 < 100$$.

Por lo tanto $101^{50}$ es de menos de $100^{51}$. Por lo tanto $\sqrt[102]{101}$ es de menos de $\sqrt[100]{100}$

Answer 2

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Answer 3

Vamos$100=n$ entonces tenemos que probar que$$(n+1)^{1/(n+2)}<n^{1/n}$$ this is equivalent to $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<n^2$$ this is true for $ n =

Answer 4

ps

ps

Asi que:

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Answer 5

Sea$R$ la relación desconocida. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org $R \in \{<,=,>\}$ $$$101^{1/102}\, R \,100^{1/100}$ $ Hicimos esto al aumentar ambos lados al$$101^{100}\, R \,100^{102} $.

ps

Cuando se compara con$102 \times 100$, la respuesta es clara.