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He estado teniendo bastantes problemas con esta pregunta. Tengo que demostrar que la siguiente ecuación es válida, usando propiedades de determinantes (es decir, no se permite expandir directamente el determinante antes de simplificarlo en gran medida).

$ \begin{vmatrix} -bc & b^2+bc & c^2+bc\\ a^2+ac & -ac & c^2+ac \\ a^2+ab & b^2+ab & -ab \end {vmatrix} = (ab bc ca) ^ 3 $

Intenté todo:$R_1->R_1+R_2+R_3$ y transformaciones similares para extraer ese$ab+bc+ca$ term, pero no sirvió. $C_2->C_1+C_2$ Y$C_3->C_3+C_1$ parecían ser una buena ventaja, pero no pude darle seguimiento.

¿Cómo puedo resolver esta pregunta?

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asimath Puntos 374

Si$a=b=c=0$ entonces la igualdad se mantiene. WLG asumimos$a\neq 0$ entonces $$ \begin{vmatrix} -bc & b^2+bc & c^2+bc\\ a^2+ac & -ac & c^2+ac \\ a^2+ab & b^2+ab & -ab \end {vmatrix} \\ = \ frac {1} {a} \begin{vmatrix} a(-bc)+b(a^2+ac)+c(a^2+ab) & b(ac+bc+ca) & c(ac+bc+ca)\\ a^2+ac & -ac & c^2+ac \\ a^2+ab & b^2+ab & -ab \end {vmatrix} \\ (aplicando R_1 a \ frac1a (aR_1 BR_2 cR_3)) \\ = \ frac {1} {a} \begin{vmatrix} a(ab+bc+ca) & b(ac+bc+ca) & c(ac+bc+ca)\\ a^2+ac & -ac & c^2+ac \\ a^2+ab & b^2+ab & -ab \end {vmatrix} \\ = \ frac {1} {a} (ab bc ca) \\ = \ frac {1} {a} (ab bc ca) - {-} - {vmatrix} \\ (aplicando R_2 \ a R_2- (a c) R_1 \, y \, R_3 \ a R_3 - (a b) R_1) \\ = (ab bc ca) ^ 3 $$

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Momo Puntos 1166

Pongo mi solución como una alternativa (un poco más sencillo). Escribir el original determinante como

$\begin{vmatrix} -bc & b(b+c) & c(b+c)\\ a(a+c) & -ac & c(a+c) \\ a(a+b) & b(a+b) & -ab \end{vmatrix}$

Multiplicar la primera columna con $b+c$ y la segunda con c y traer a $\frac{1}{c(b+c)}$ frente al determinante:

$\frac{1}{c(b+c)}\begin{vmatrix} -bc(b+c) & bc(b+c) & c(b+c)\\ a(a+c)(b+c) & -ac^2 & c(a+c) \\ a(a+b)(b+c) & bc(a+b) & -ab \end{vmatrix}$

Multiplicar la primera fila por $\frac{1}{c(b+c)}$ frente al determinante:

$\begin{vmatrix} -b & b & 1\\ a(a+c)(b+c) & -ac^2 & c(a+c) \\ a(a+b)(b+c) & bc(a+b) & -ab \end{vmatrix}$

Cero la primera fila y la tercera columna. Agregar la segunda columna de la primera columna, multiplicar la tercera columna con $-b$ y agregar a la primera columna. Tomar los factores de $ab+ac+bc$ fuera del determinante:

$(ab+ac+bc)^2\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a & -c & c(a+c) \\ a+b & b & -ab \end{vmatrix}= (ab+ac+bc)^2\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a & -c & 0 \\ a+b & b & 0 \end{vmatrix}$

Ahora usted puede ampliar o continuar con la eliminación de la misma manera.

Los casos de $c=0$ $b+c=0$ debe ser resuelto por separado (pero estos casos son mucho más simples).

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user90369 Puntos 26

\ C # \ C # \ C # \ C # \ C # \ C # \ C # \ C # \ C # \ C $ Shift: $ \ Enspace B $

$ B: = \begin{vmatrix} -bc & b^2+bc & c^2+bc\\ a^2+ac & -ac & c^2+ac \\ a^2+ab & b^2+ab & -ab \end {vmatrix} $

$ C: = \begin{vmatrix} b^2+bc & c^2+bc & -bc\\ -ac & c^2+ac & a^2+ac \\ b^2+ab & -ab & a^2+ab \end {vmatrix} $

Es$, $ con$, $ (regla Sarrus sin calcular, sólo una comparación).

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Adición :

Para calcular el signo de la raíz cuadrada, es suficiente poner un valor, por ejemplo$ => $.

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