¿Verdadero o falso? Funciones continuas

Question

Si la función $f+g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ también son continuos.

Falso;

Dejemos que $f(x)=\begin{cases} -1 \text{ if } x<0 \\ 1 \text{ if } x\ge 0 \end{cases}$ $\hspace{10pt}$ y $\hspace{10pt}$ $g(x)=\begin{cases} 1 \text{ if } x<0 \\ -1 \text{ if } x\ge 0 \end{cases}$

Entonces $(f+g)(x)=0 \hspace{10pt}\forall x$ .

Aquí, $f+g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, pero las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ no son continuos.

¿Es un buen ejemplo?

Answer 1

(Respuesta de CW para que esto no aparezca como sin respuesta).

El ejemplo es correcto, pero (dependiendo de la clase) es posible que desee proporcionar una prueba de que $f$ y $g$ no son continuas. En particular, se puede demostrar que $f$ no es continua en $0$ y luego observar $g$ tampoco es continua, ya que $g = -f$ .

Probando la $0$ función es continua no debería ser demasiado problema.