Sólo quiero ver la importancia de los espacios reflexivos de Banach y lo que es especial en comparación con otros espacios de Banach. ¿Qué tipo de propiedades tienen en los espacios reflexivos que no necesariamente se sostienen para un espacio aleatorio Banach. La única propiedad que conozco es que la bola de unidad cerrada de un espacio reflexivo es compacta en la topología débil.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Reflexiva de espacios de interés de los matemáticos, porque tienen un buen montón de propiedades:
Unidad de bola es débilmente compacto, por lo que puedes aprovechar la compacidad para demostrar exitence de puntos fijos, convergente subsecuencias y etc.
Reflexiva de espacios se caracterizan por la propiedad de que la débil y débil* topología de coincidir. Usted puede olvidarse de topología débil y trabajar con mucha entiende bien débil* topología.
Cada funcionales en un espacio reflexivo alcanza su norma. Simplemente hablando, usted siempre tiene un vector que indica que casi todo acerca de su funcionamiento. Más sobre este tema se puede encontrar aquí.
La reflexividad es un espacio tres de la propiedad. Usted puede pasar a los cocientes y los subespacios de espacios reflexivos y obtener un espacio reflexivo de nuevo.
Después equivalente renorming todos reflexiva de los espacios estrictamente convexos. En cierto sentido, la unidad de la bola de un reflexiva de espacios es redondo.
Reflexiva de espacios de Radón-Nykodim de la propiedad. Esto le permite desarrollar una rica teoría para que el vector de valores de la integración y el vector de valores de las medidas para reflexiva de espacios.
La reflexividad es una rara propiedad y esto ayuda a distinguir los espacios de Banach. Por ejemplo no es infinito dimensional reflexiva $C^*$-álgebras, por lo que $c_0$, $l_\infty$ no reflexiva. Su no-conmutativa contrapartes $\mathcal{K}(H)$ $\mathcal{B}(H)$ no reflexiva.
Shauder de bases en un espacio reflexivo son muy agradable y dulce, que se están reduciendo y boundedly completa.. ¡Cuidado! Hay hereditariamente indecomposable (y, a fortiori, sin base alguna) reflexiva de los espacios de Banach. Ver este documento.
Para encontrar más información sobre reflexiva de espacios de uso de la búsqueda en este sitio, o mathoverflow, o en cualquier libro de Banach de geometría con la palabra clave 'reflexivo'.
msteve
Puntos
4328
Te voy a dar un par de importantes propiedades de los espacios de Banach reflexivo, uno de los más geométrica y un operador más en la teoría (aunque por supuesto hay muchos más). Primero de todo, dado que cualquier cerrado convexo subconjunto $A$ de un reflexivo espacio de Banach $X$ así como cualquier $x \in X$, existe un punto de $a \in A$, lo que minimiza la distancia $\inf_{a \in A} \| x- a \|$ desde el punto de $x$ para el conjunto de $A$. De hecho, esta es una intuitiva caso particular de un teorema más general que indica que continua de las funciones convexas en un espacio reflexivo, la consecución de sus extremos a través de una convexa subespacio.
La segunda propiedad que voy a mencionar se describe cómo el proceso de toma de adjoints de operadores acotados: dado un delimitada lineal operador $T \colon X \to Y$ entre espacios de Banach reflexivo $X$$Y$, $T^{**} = T$ es decir, el doble adjunto es igual a la original del propio operador. Además, uno puede mostrar que cada delimitada lineal operador $X \to Y$ es su propio doble adjunto iff tanto $X,Y$ son reflexivos.
