Cuántas $\mathbb R$s un Matemático pie hacia abajo?

Question

Un matemático se pierde en el plano complejo. Él no conoce ni su posición ni la dirección en la que se enfrenta. Él quiere regresar a la carretera principal, en una franja de anchura $1$ en todo el eje real (es decir, de$\mathbb R+\frac{i}{2}$$\mathbb R-\frac{i}{2}$). Naturalmente, se reconocerá el camino una vez que está en él.

El único instrumento en su posesión, es una brújula-como el dispositivo que puede mostrarle el valor absoluto $|z|$ de su posición $z$. El problema: Él compró el barato "de precisión finita" de la versión, en la que no aparece ningún dígitos después del punto decimal (sólo se redondea al entero más cercano).

Mirando a su dispositivo, ve el número de $1000$. Puede llegar a su destino en un número finito de pasos, donde un paso consta de la consulta del dispositivo, convirtiendo un ángulo de $\phi$ de su elección y, a continuación, caminar en línea recta a una distancia de $d$ de su elección (ambas opciones pueden ser diferentes en cada paso)? Si sí, ¿cómo puede minimizar el número de pasos que debe tomar? O es todo desesperado y al final, la respuesta está soplando en el viento?

Aclaración: se reconocerá el camino cuando un paso se lo lleva directamente a él. Él no reconocer el camino simplemente por el cruce en el curso de un paso.

Answer 1

Él no necesita ni siquiera de su dispositivo especial para encontrar el camino en un tiempo finito. Él sólo tiene que caminar en una creciente espiral, en línea recta con pasos más cortos de dos unidades, hasta que sale a la carretera.

La espiral puede ser cualquier escala, pero si sabe que él es de 1000 unidades desde el origen, es suficiente para seguir adelante 1000 unidades, a la izquierda de 1000 unidades, a la izquierda de 2000 unidades, a la izquierda de 2000 unidades, y nuevamente a la izquierda de 2000 unidades, lo que lleva a la mayoría de los 501 + 501 + 1001 + 1001 + 1001 = 4005 pasos. (Por supuesto, esto se puede mejorar, por ejemplo, siguiendo un círculo más de cerca.)

Answer 2

Desde el enunciado del problema dice "él", podemos asumir que el matemático no es una mujer? Que las normas de una respuesta obvia que obtendría el matemático de vuelta en el camino en un paso.

La lectura inicial dice el matemático, que el origen del plano está en algún lugar en un anillo con radio interior $999.5,$ radio exterior $1000.5,$ y al centro en su ubicación actual.

La pregunta es qué tan eficientemente se puede subdividir de los posibles lugares de origen hasta que se le ocurre a la tierra en la carretera, mientras que la búsqueda, o reduce los posibles lugares de origen a una figura que se ajusta dentro de un disco de radio $\frac12,$ punto en el que su siguiente paso es viajar hasta el centro de la disco (y luego será en la carretera).

Es un método para viajar $10000$ unidades (u otras debidamente larga distancia) en la dirección inicial. Esto restringe la ubicación del origen a una larga, fina hebra entre dos arcos, para una figura como la de un doble encabezados por "la lanza" (con un doblado o recto eje), o desconectado de la figura compuesta de dos regiones, cada una delimitada por cuatro arcos. En cualquier caso, hay dos extremal de los puntos de la figura que está tan lejos como cualquiera de los dos puntos en que la figura puede ser.

El matemático del segundo paso es $\frac12$ unidad en la misma dirección. De esta forma, dibuja una curva "a lo largo" a través de la legitimación de origen, y dependiendo de si la lectura de la distancia que va de uno o sigue siendo la misma, el locus se reduce a la parte en uno u otro lado de la curva. El resto de los locus tiene una anchura máxima de alrededor de $\frac12,$ posiblemente más de $\frac12$ pero sin duda mucho menos de $1.$ En particular, es posible construir una línea (en relación a los puntos ya visitado) que pasa dentro de menos de $\frac12$ unidad de todos los puntos de la resto de locus de el origen.

El matemático del tercer paso es un punto en que la línea a gran distancia de la punto más cercano del lugar de origen, y su cuarto paso es la distancia $\frac12$ a otro punto de la línea.

El lugar de origen, ahora está acotada entre un par de arcos de aproximadamente $\frac12$ unidad aparte, y también entre un par de arcos de aproximadamente $\frac12$ unidad aparte y, aproximadamente, de "perpendicular" a la primera pareja. El locus encaja fácilmente dentro de un disco de radio $\frac12,$ así que el quinto (y último) paso es cualquier punto en ese locus.

No estoy completamente seguro de que no se puede hacer en menos de cuatro pasos.

Answer 3

Puedo hacerlo en tres. Paseo $10$ en la dirección en la que se enfrenta. Gire a la $\frac \pi 2$ y el paseo $10$. Al menos uno de los dos va a mostrar un cambio de al menos $7$ unidades. Usar el arco tangente de las dos observaciones para determinar la dirección hacia el origen. No se puede ser demasiado lejos, por lo que caminar de esa manera $1500$ y él va a salir a la carretera.

Answer 4

A mí me parece que él puede, al menos, la estimación de su ángulo con el origen eficazmente con un solo paso: tomar una medida de longitud de 500 en cualquier ángulo, él pasa a ser de frente, y consultar el dispositivo para la nueva distancia $d$. Si O,a,B denotan el origen, la posición anterior, la nueva posición, respectivamente, entonces él sabe todas las distancias OA, AB, OB razonable de precisión (todas las longitudes de tener al menos 500, por lo que el error relativo introducida por el redondeo debe ser pequeño). Usando la ley de cosenos se puede estimar todos los ángulos de este triángulo, que le daría un decente estimación de su ángulo con el origen.

No sé si esta estimación es en realidad lo suficientemente bueno que sólo volviendo la cara la estimación de origen y dar un paso de longitud OB le cerca del origen, aunque parece que OB ser grande no da el error una oportunidad para obtener multiplicado así.

edit: supongo que esto es básicamente el mismo que Ross Millikan respuesta, pero se ahorra un paso