Sobre la siguiente suma:$\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{2}{1 \cdot 3 \cdot5}++\ldots+\frac{n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}$

Question

Cualquier indicio sobre esta expresión:

ps

Gracias :)

Debe haber un truco :)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \ frac {2k} {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots (2k 1)} = \ frac1 {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots (2k-1)} - \ frac1 {1 \ cdot3 \ cdot5 \ Cdots (2k 1)} \ tag {1} $$ Sumando ambos lados, donde el lado derecho telescopa, produce $ \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {2k} {1 \ cdot3 \ cdot5 \ {2} $$ Letting$n\to\infty$ y dividiendo por$2$ yields $$ (2k 1)} = {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots \ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {k} {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots (2k 1)} = \ frac12 \ tag {3} $$