Mostrar que$2^{105} + 3^{105}$ es divisible por$7$

Question

Sé que $$\frac{(ak \pm 1)^n}{a}$$ gives remainder $a - 1$ is n is odd or $1$ es n es par.

Por lo tanto, escribí$2^{105} + 3^{105}$ como$8^{35} + 27^{35}$ y luego como$(7\cdot 1+1)^{35} + (7\cdot 4-1)^{35}$, que en la división debe dar el resto de$6$ para cada término y resto total de 5 (12/7).

Pero, según la pregunta, debe ser divisible por 7, así que el resto debe ser cero no 5. ¿Dónde me he equivocado?

[Nota: no sé teorema binomial o thoery número.]

Answer 1

Utilizando Little Fermat, tenemos:$$2^{105} +3^{105}\equiv 2^{105\bmod 6} +3^{105\bmod 6}\equiv 2^{3}+ 3^{3}\equiv 1 + 6\equiv 0 \mod 7.

Answer 2

$$\begin{align} 2^3 &\equiv 1 (\mod 7)\\ (2^3)^{35} &\equiv 1^{35} (\mod 7)\\ 2^{105} &\equiv 1 (\mod 7)\tag1 \end {align}$$ Una vez más, $$\begin{align} 3^3 &\equiv -1 (\mod 7)\\ (3^3)^{35} &\equiv (-1)^{35} (\mod 7)\\ 3^{105} &\equiv -1 (\mod 7)\tag2 \end {align}$$ Añadiendo (1) y (2) Implica que$\space2^{105}+3^{105}$ es divisible por 7.

Answer 3

Ni siquiera necesitamos el teorema de Fermat si usamos la Prueba de$a^n+b^n$ divisible por a b cuando n es impar

Ahora $105=3\cdot5\cdot7$

Por lo tanto, compruebe$2^3+3^3,2^5+3^5,2^7+3^7$

Answer 4

Desde$2^3=1\ (7)$ obtenemos$2^{105}=1\ (7)$, y desde$3^3=-1\ (7)$ obtenemos$3^{105}=-1\ (7)$. Resulta que $2^{105}+3^{105}=0\ (7)$.

Answer 5

Puede escribir$2^{105} = 2^{6 \cdot 17}\cdot 8$ y$3^{105} = 3^{6 \cdot 17} \cdot 3^3$ y puede usar el pequeño teorema de Fermat.

$2^{6 \cdot 17} \equiv 1 \pmod 7$,$8 \equiv 1 \pmod 7$ Por lo tanto$2^{2015} \equiv 1 \pmod 7$ while$3^{6 \cdot 17} \equiv 1 \pmod 7$ y$3^3 \equiv 6 \pmod 7$ then$3^{105} \equiv 6 \pmod 7$. $2^{105} + 3^{105}\equiv 1 + 6 \equiv 7 \equiv 0 \pmod7.$ Hemos demostrado que el número es divisible para$7.$