Vamos a la acción de Einstein-Hilbert ser reescrito como un funcional de la tetrad $e$ (unidades deberá ser puesta a $1$) tales que $S_{EH}(e)=\int \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}~e^I\wedge e^J\wedge F^{KL}(\omega(e))$ donde $\epsilon$ es la de Levi-Civta-símbolo, como de costumbre, $F$ es la curvatura de la vuelta de la conexión de $\omega$ $I,J,K,L$ denotar índices internos, lo que indica que el objeto lleva una rep. del grupo de Lorentz. ¿Cómo puedo volver a la costumbre de acción $S_{EH}(g)=\int~d^4x\sqrt{-g}R$? Estoy tratando de averiguar el uso de identidades, pero no puede terminar hasta el final. Podría alguien dar un poco más detallada de la cuenta, por favor? Gracias.
Respuesta
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La de Levi-Civita símbolo en curva el espacio-tiempo, $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ ,se define como :
$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} = e~ \epsilon^{I'J'K'L'} e_{I'}^\alpha e_{J'}^\beta e_{K'}^\gamma e_{L'}^\delta,$$
donde $\epsilon^{I'J'K'L'}$ es el estándar de Levi-Civita símbolo (plano espacio-tiempo).
La presencia de la $e$ es debido a $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ tiene que transformar como un tensor.
Entonces, usted puede utilizar las propiedades de la norma de Levi-Civita símbolo. Por ejemplo, el producto $\epsilon^{I'J'K'L'} \epsilon_{IJKL}$ podría ser obtenido como un factor determinante de la matriz de la delta de Kronecker símbolos $\delta^M_N $. El producto es igual a $1$ si $I'J'K'L'$ es una permutación de $IJKL$, e $-1$ si $I'J'K'L'$ es una permutación impar de $IJKL$, $0$ en otros casos.
Y usted va a utilizar el hecho de que la matriz de $e_I^\alpha$$e_\beta^J$, son la inversa de la matriz.
[EDITAR] Aquí está la completa cálculo:
\begin{align} S_{EH}(g)&=\int\sqrt{-g}R\,\mathrm{d}^4x\\ &=\int \sqrt{-g} R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}\,\mathrm{d}^4x\\ &=\int e\, e^{\mu}_I e^{\nu~I}R_{\mu\nu\rho\sigma}e^{\rho}_J e^{\sigma~J}\,\mathrm{d}^4x\\ &=\int e\, e^{\mu}_I e^{\rho}_J F^{IJ}_{\mu\rho}\,\mathrm{d}^4x \end{align}
y
\begin{align} S_{EH}(e)&=\int \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}~e^I\wedge e^J\wedge F^{KL}(\omega(e))\\ &=~\int \frac{1}{2}~\epsilon_{IJKL}~ e_{\alpha}^I \,\mathrm{d}x^{\alpha} \wedge e_{\beta}^J \,\mathrm{d}x^{\beta} \wedge (\frac{1}{2} F_{\gamma\delta}^{K L} \wedge \,\mathrm{d}x^{\gamma} \wedge \,\mathrm{d}x^{\delta})\\ &=~\int \frac{1}{4}~\epsilon_{IJKL}~ e_{\alpha}^I~ e_{\beta}^J ~F_{\gamma\delta}^{K L} \,\mathrm{d}x^{\alpha}\wedge \,\mathrm{d}x^{\beta} \wedge \,\mathrm{d}x^{\gamma} \wedge \,\mathrm{d}x^{\delta}\\ &=~\int \frac{1}{4}\epsilon_{IJKL}~ \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}~e_{\alpha}^I ~e_{\beta}^J ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int e\frac{1}{4}~\epsilon_{IJKL} ~\epsilon^{I'J'K'L'} ~e_{I'}^\alpha ~e_{J'}^\beta ~e_{K'}^\gamma ~e_{L'}^\delta ~e_{\alpha}^I ~e_{\beta}^J ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int e \frac{1}{4}~\epsilon_{IJKL} ~\epsilon^{I'J'K'L'} ~\delta_{I'}^I ~\delta_{J'}^J ~e_{K'}^\gamma ~e_{L'}^\delta ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int e \frac{1}{4}~\epsilon_{IJKL} ~\epsilon^{IJK'L'} ~e_{K'}^\gamma ~e_{L'}^\delta ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int e \frac{1}{4} ~2 ~(\delta_{K}^L \delta_{K'}^{L'} - \delta_{K}^{L'} \delta_{K'}^L)~ e_{K'}^\gamma ~e_{L'}^\delta ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int ~e ~\frac{1}{4} 2*2~(\delta_{K}^L \delta_{K'}^{L'})~ e_{K'}^\gamma ~e_{L'}^\delta ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x\\ &=~\int ~e ~e_{K}^\gamma ~e_{L}^\delta ~F_{\gamma\delta}^{K L}\,\mathrm{d}^{4}x \end{align}
