¿Cómo resolver esta serie con un registro en el denominador?

Question

Así que me topé con una serie que bastante no puedo solucionar:

$$S=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n\ln(n)}$$

Observe que si nosotros generalizar esto:

$$S(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^x\ln(n)}$$

y diferencia con respecto a los $x$, obtenemos

$$S'(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}=\eta(x)-1$$

$\eta$ Dónde está la función eta de Dirichlet. Que parece natural para tratar de integrarse hacia atrás.

$$S(x)=S(x_0)+x_0-x+\int_{x_0}^x\eta(x)\ dx$$

Pero no estoy seguro de cómo calcular esto en una especie de forma cerrada.

Answer 1

Claramente esta serie tiene una representación integral:\begin{equation} S = \int\limits_0^\infty \left[1+ Li_{1+\theta}(-1)\right] d\theta = 0.526412246533310410930696501411\dots \end{equation} ahora usando la representación integral de la polivinílico-logaritmo:\begin{equation} Li_{1+\theta}(-1) = -\int\limits_0^\infty \frac{t^\theta}{\theta!(1+\exp(t))} dt \end{equation} y cambiar el orden de integración podrían ser de alguna ayuda.

Por otro lado la serie original converge muy lentamente. Después de tomar los primeros 10 mil términos sólo los cinco primeros dígitos son correctos.