grados de grupos simples finitos del carácter: una pregunta elemental

Question

Tengo una simple pregunta sobre los personajes de simple grupos; declarado como el ejercicio en Isaacs carácter' el libro de la teoría.

(2.3) Deje $\chi$ ser un personaje de $G$. Si $\mathfrak{X}$ es una representación correspondiente a $\chi$, definir $\det\chi(x):=\det\mathfrak{X}(x)$. Mostrar: $\det\chi$ está bien definido carácter lineal de $G$.

Este es un ejercicio fácil; considerar el siguiente.

(3.3) Muestran que no simple grupo puede tener carácter irreductible de grado 2.

Ayuda: Problema 2.3 es relevante.

Pregunta: Mi pregunta es, no acerca de la solución de (3.3) ya que me lo ha solucionado de alguna forma diferente. Yo no haga clic en la forma (2.3) se puede utilizar para esto?

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De otra forma (3.3): $|G|$ es divisible por $2$=grado de irreductible carácter. Si $|G|=2.(odd)$, entonces es bien conocido desde básico de la teoría de grupos que $G$ no puede ser simple (en Realidad es solucionable). Por lo $4$ brecha $|G|$. Considerar el subgrupo $H$ orden $4$$G$. Deje $\mathfrak{X}:G\rightarrow {\rm GL}_2(\mathbb{C})$ ser irreductible con $G$ simple (no abelian). Podemos demostrar que algún elemento $x\in H$, $x\neq 1$ va a $\pm I$. Por lo $Z(\chi)=\{g\in G: |\chi(g)|=\chi(1)\}$ no es trivial subgrupo normal. q.e.d.

Answer 1

El uso de 2.3, supongamos $G$ es simple con carácter irreductible $\chi$ grado $2$. Si $\rho\colon G\to GL_2(\mathbb{C})$ da $\chi$, $\ker\rho\unlhd G$ debe ser trivial, ya que $\rho$ no es trivial rep, por lo $\rho$ es una inyección.

Ahora $G$ no puede ser abelian, por lo $[G,G]\neq 1$, por simplicidad, $G=[G,G]$. Los caracteres lineales de $G$ están en bijection con $G/[G,G]$, que tiene orden de $1$, por lo que el único carácter lineal es el carácter trivial. Pero por 2.3, $\det\chi$ es un carácter lineal, por lo tanto debe ser trivial. Por lo $\det\rho(g)=1$ todos los $g\in G$.

Ahora el grado de una irreductible carácter divide $|G|$, lo $2$ divide $|G|$. Por Cauchy, existe $g\in G$ orden $2$. A continuación, $\rho(g)$ orden $2$, y es similar a un $2\times 2$ matriz diagonal cuya diagonal entradas 2º raíces de la unidad, es decir, $\pm 1$. Así que, necesariamente, $\rho(g)$ es similar a $-I_2$, ya que se debe tener determinante $1$, por lo tanto, en realidad $\rho(g)=-I_2$. A continuación, $\rho(g)\rho(x)=\rho(x)\rho(g)$ todos los $x\in G$, por lo que desde $\rho$ es inyectiva, $g$ es central en $G$. Así que, finalmente,$\langle g\rangle\unlhd G$, y que es adecuado, ya que $|G|\neq 2$, otra cosa $G$ sería abelian. Pero esto contradice la simplicidad.