¿Puede justificarse el principio de Huygens de forma rigurosamente matemática?

Question

¿Puede el Principio de Huygens ¿se puede justificar matemáticamente de forma rigurosa? ¿En qué medida y con qué finalidad sigue siendo pertinente hoy en día? ¿Ha quedado obsoleta por las ecuaciones de Maxwell? Si no es así, ¿las ecuaciones de Maxwell la justifican?

Answer 1

Consideremos la expresión de la difracción de Fresnel. El campo eléctrico viene dado por: $$E(\vec{r})\propto\intop_{Aperture}{}E(x',y',0)\frac{e^{ikr}}{r}dx'dy'\ $$ El integrando se compone de dos partes: el campo eléctrico en la apertura $$E(x',y',0)$$ y algo que parece una onda esférica debido a una carga puntual: $$\frac{e^{ikr}}{r}$$ La suma es sobre toda la apertura.

Esencialmente, se trata de la superposición de ondas esféricas, emitidas por cargas puntuales que se colocan a lo largo de toda la abertura. Esto es exactamente el Principio de Huygens.

Es evidente que las ecuaciones de Maxwell justifican el principio de Huygens, ya que la fórmula de difracción de Fresnel es una consecuencia directa de la ecuación de onda, que es una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell.

Aunque en este caso lineal ("lineal" es una palabra clave) el principio de Huygens está justificado, esto no significa que sea necesariamente siempre cierto.

Answer 2

El principio de Huygens no es exactamente cierto. Esto se discute en "Óptica" de Sommerfelds. El problema es que, por ejemplo, para una pantalla absorbente con agujeros, la función de Greens utilizada para el principio de Huygens no cumple la condición de contorno. Habría que resolver exactamente las ecuaciones de Maxwells. Desgraciadamente se conocen muy pocas soluciones exactas, una dada también por Sonmerfeld. Esta solución muestra que la desviación del principio de Huygens es sólo del orden de unas pocas longitudes de onda desde el límite. Para una explicación moderna sobre la solución exacta también se puede consultar Thirrings introduction to mathemazical physics.

Answer 3

El principio de Huygens puede ser formulado rigurosamente como una afirmación sobre las singularidades y propiedades de soporte de los operadores de Green de la ecuación de onda.Para ser precisos, una solución directa del problema inhomogéneo de datos de Cauchy inicial cero es una solución suave $\phi\in C^{\infty} (\mathbb{R}^4)$ tal que:

a) $-\partial_{tt}\phi+\Delta\phi=f$

b) $\phi(0,x)=0$

c) $ \partial_t\phi(0,x)=0$

para $f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^4) $ (fuentes suaves de apoyo compacto).

Que tal solución $\phi$ existe, es única y depende continuamente con respecto a la fuente es equivalente a mostrar la buena composición. Para más detalles se puede ver este .

De hecho, se puede definir un núcleo integral $G(t,x;s,y)$ tal que

$\phi(s,y)=\int_{\mathbb{R}^{4}} G(t,x;s,y)f(t,x)$

$G(t,x;s,y)$ corresponde al propagador verde avanzado. Los otros dos son los operadores de Green asociados al problema inhomogéneo atrasado (función de Green retardada) y al problema de valor inicial homogéneo (propagador causal).

Utilizando técnicas de análisis microlocal o encontrando explícitamente $G(t,x;s,y)$ se puede demostrar que $G(x,t;s,y)$ desaparece excepto en el cono de luz pasado el punto $(x,t)$ es decir $G(x,t;s,y)=0$ si no hay una geodésica nula dirigida pasada entre $(x,t)$ y $(s,y)$ . Obsérvese que esto implica que el soporte singular de $G$ es el cono de luz pasado.

Puede ver la fórmula explícita aquí . Nótese que la fórmula dada allí es sólo una parte de la fórmula completa del propagador causal y, por lo tanto, el soporte singular es diferente del descrito anteriormente. Una formulación precisa es la ecuación 4.5.4 en Friedlander

Además, se puede ver en la fórmula que la introducción de un término de masa no permite que se cumpla el principio de Huygens.

La declaración de que el apoyo de $G$ es sólo el cono de luz pasado de $(x,t)$ puede entenderse como una formulación rigurosa del principio de Huygens.

En un espaciotiempo curvo general, es decir, cuando resolvemos $\square_g \phi=f$ con datos iniciales cero en una hipersuperficie de Cauchy $\Sigma$ en un espaciotiempo globalmente hiperbólico $(\mathbb{R}\times\Sigma, g)$ . El apoyo de $G$ es todo el pasado causal. Sin embargo, todavía se puede demostrar que el soporte singular de $G$ es sólo el cono de luz pasado.

Por lo tanto, en general el principio de Huygens no se cumple. Se necesitan condiciones específicas sobre la geometría de $g$ . Basta con que $g$ es plano o un espaciotiempo de ondas planas. Además, el principio depende de la dimensionalidad del espaciotiempo. Por ejemplo, si $n$ es impar el principio no es válido. Puede encontrar pruebas precisas en Friedlander .

En cuanto a su conexión con las ecuaciones de Maxwell. Me gustaría comentar lo siguiente.

He enunciado el principio para las ecuaciones de onda escalares. Sin embargo, se puede generalizar el planteamiento a las ecuaciones de onda tensoriales. De la misma manera, bajo elecciones gauge adecuadas, las ecuaciones de Maxwell pueden ser formuladas como una ecuación de onda tensorial.

El principio diría que podemos leer el valor del campo electromagnético en un punto $p$ en los espacios pares planos conociendo sólo la información del campo electromagnético en el cono de luz pasado del punto $p$ .

El fracaso del principio para los espacios-tiempo curvos o planos Impares significa que la diferencia entre el valor de la solución y el valor de una aproximación que considera sólo la información sobre los conos de luz no es cero. Además, el comportamiento singular de $G$ en el cono de luz implica que esta diferencia es una función suave en $(x,t)$ . Podemos replantear esto como la afirmación de que el comportamiento singular del campo electromagnético (los lugares donde no es liso) viaja a la velocidad de la luz. El campo electromagnético puede dejar de ser suave como consecuencia de considerar que la métrica del espaciotiempo o las distribuciones de carga son suaves.

Estas diferencias pueden utilizarse para caracterizar las inhomogeneidades de un medio.