¿Por qué los valores absolutos de los jacobianos en el cambio de variables para integrales múltiples y no para integrales simples?

Question

Si $g:[a,b]\to\mathbf R$ es un cambio de coordenadas 1D, entonces la fórmula es: $$ \int_{g(a)}^{g(b)}\,f(x)\,dx = \int_a^b\,f(g(t))\frac{dx}{dt}\,dt. \qquad\text{(1)}$$

Si $T=\{x=f(u,v); y=g(u,v)\}$ es un cambio de coordenadas 2D, entonces la fórmula es: $$\iint_{T(R)}\,\phi(x,y)\,dx\,dy = \iint_R\,\phi(f(u,v),g(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|\,du\,dv \qquad\text{(2a)}$$

Parece que la fórmula para 2D (y dimensiones superiores) son extensiones de la versión 1D. Si es así, entonces la versión 1D 'debería' también requerir valor absoluto. ¿Alguien puede explicar por qué, excepto para 1D, todas las versiones superiores requieren el valor absoluto de Jacobianos?

¿Tiene algo que ver con la forma en que especificamos los límites inferiores y superiores de la integral 1D? Si es así, ¿alguien puede explicarlo más detalladamente?

\===== Lo siguiente se agregó después de que esta pregunta fue marcada como duplicada ======

Esta pregunta fue marcada como duplicada. Pero me parece que esta pregunta tiene un objetivo muy claro: valor absoluto para dimensiones superiores, pero por qué no para 1D? Esta pregunta no trata de ningún ejemplo particular, es más sobre la forma en que se enuncia el teorema en 1D y dimensiones superiores. Específicamente, es más sobre el desafío de una notación práctica y de oficinista para especificar una orientación de una región 2D en una integral doble.

Como StrangerLoop y Hurkyl han explicado, una región 1D como un intervalo se puede voltear ingenuamente solo notando las magnitudes de los extremos. Podemos indicar la 'orientación' de manera práctica y de oficinista (como los límites). Para integrales dobles necesitamos saber qué lado de la región es el 'correcto'. Como continuación, tengo el siguiente comentario:

No hay una manera práctica y de oficinista universal para especificar una región 2D. ¿Cómo especificar una región orientada $T(R)$ de manera genérica para que uno siempre pueda calcular mecánicamente una integral doble de forma independiente correctamente, incluido el signo?

Supongo que si podemos hacer eso, entonces es posible generalizar la versión 1D a 2D sin la necesidad 'artificial' de valor absoluto. Porque cada integral doble, como una integral independiente, a ambos lados de (2b) estará correctamente signada.

$$\iint_{T(R)}\,\phi(x,y)\,dx\,dy = \iint_R\,\phi(f(u,v),g(u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \,du\,dv \qquad\text{(2b)} $$

Gracias por las dos respuestas. Son útiles para ayudarme a comprender la parte del "por qué". Cualquier comentario adicional sobre mi observación es apreciado.

Answer 1

Tienes razón. 1-d es especial y tiene que ver con cambiar los límites.

Por ejemplo, supongamos que hacemos la sustitución $u=-x$ en $\int_0^1 dx$. Entonces obtenemos $\int_0^{-1}-1 \: du = \int_{-1}^0 1 \: du = \int_{[-1,0]} 1 \: du.

¿Ves lo que está pasando? Si solo nos fijamos en la REGIÓN en la que se encuentra $u$ (que es lo que hacemos en 2d), entonces SÍ necesitamos el valor absoluto en el Jacobiano.

Para resumir: en 1-d, tienes dos opciones: usar el valor absoluto y poner los nuevos límites en orden de menor a mayor; O, no usar el valor absoluto, pero poner los límites en el mismo orden que la integral original. El primer método es exactamente lo que hacemos en dimensiones más altas; el segundo método solo funciona en 1-d.

Answer 2

Si el jacobiano es negativo, entonces la orientación de la región de integración se invierte.

Sin embargo, uno generalmente no aprende sobre la orientación de una región excepto en integrales unidimensionales o cuando comienza a aprender sobre geometría diferencial - para permitir que los textos introductorios hablen sobre cambios de variables sin tener que introducir orientaciones, hacen uso del hecho de que

$$ \iint_R f \, dA = \iint_{-R} -f \, dA $$

así que se obtiene el mismo resultado si se invierte la orientación de la región de vuelta a la orientación positiva y se invierte el signo del jacobiano: por lo tanto, el uso de valores absolutos.