Aplicaciones de la Jordan-Hölder Teorema.

Question

Todos los libros sobre teoría de grupos traer el Jordan-Hölder teorema, pero no dar a las aplicaciones. Sólo la vi en Rotman del libro el Teorema Fundamental de la Aritmética se ha demostrado como una consecuencia de este teorema.

¿Qué es una buena aplicación de este teorema? Cualquier referencia?

Answer 1

(ADICIÓN) a Finales de comentario: dices en tu pregunta que la única aplicación que usted sabe que es Rotman de la prueba del teorema fundamental de la aritmética a través de Jordan-Hölder, de hecho, que es Corolario 4.56 de su libro "Modernas y Avanzadas de Álgebra". Sólo a modo de aclaración, creo que vale la pena mencionar, incluyendo aquí su discusión en las próximas dos páginas acerca de la importancia de la Jordan-Hölder teorema. El problema con la extensión de pares de grupos de $K, Q$ es la clasificación de todos los posibles grupos de $G$ la satisfacción de la secuencia exacta corta $$1\rightarrow K \hookrightarrow G \twoheadrightarrow Q \rightarrow 1\;. $$ Ya que el producto directo de los $K\times Q$ es una extensión, es la costumbre de interpretar $G$ "generalizada de los productos". Por Rotman la Proposición de 4.53, cada grupo finito $G$ tiene una composición de la serie, es decir, una secuencia finita de subgrupos normales $$G=K_0\unrhd K_1\unrhd ...\unrhd K_n=\{1\},$$ such that the nontrivial factor groups $Q_1:=K_0/K_1,\, Q_2:=K_1/K_2,\, ...,\, Q_n:=K_{n-1}/K_n$ are simple. Jordan-Hölder guarantees that if any such composition series exist for $G$, they have the same set of nontrivial factor groups, thus being invariants of $G$ along with the length of such series. Now, Rotman discusses in pages 256-257 all this as the fundamental significance of the theorem: since $K_{i-1}$ is an extension of $K_i$ by $Q_i$ for all $i$, if we could solve the extension problem we could then recapture $K_i$ in succession up to $G=K_0$ from its factor groups $Q_n,Q_{n-1},...,Q_1$, making $G$ generalizada producto de su factor de grupos que se determina únicamente por él; por lo tanto el Jordan-Hölder teorema es un único teorema de factorización. Como la clasificación teorema de finitos simples grupos ha sido demostrado (en miles de páginas!), podríamos examinar todos los grupos finitos, a través de "generalizado de productos de simple grupos" mediante el uso de Jordan-Hölder si podemos resolver el problema con la extensión de ellos. (Esto todavía no ha sido resuelto y conduce a un grupo de cohomology entre otras cosas).

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El Jordan-Hölder teorema para grupos garantiza que cualquier composición de la serie de un módulo a través de un anillo son equivalentes, de modo que las longitudes de sus más cadenas son iguales. Esto hace que la longitud de una bien definida invariante que es finito si el módulo es Artinian y Noetherian. Esto coincide con, y se generaliza, la dimensión de los espacios vectoriales generales de los módulos.

Esta consecuencia de Jordan-Hölder es un concepto fundamental con aplicaciones en la geometría algebraica, especialmente en la intersección de la teoría, donde la multiplicidad de intersección de los componentes de subschemes es contada a través de longitudes de cociente de los módulos de su anillo de regular las funciones algebraicas. En particular, si $M$ es un finitely módulo generado más de un Noetherian anillo de $R$, entonces hay un número finito de la cadena de submódulos: $$0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq \cdots\subsetneq M_r=M\;\;\text{such that}\;\; M_i/M_{i-1}\cong R/\mathfrak p_i\;\;\text{for prime ideals}\;\; \mathfrak p_i\subset R.$$ La composición de la serie no es única, sino para cualquier primer ideal $\mathfrak p\subset R$ el número de veces que $\mathfrak p$ se produce entre el $\mathfrak p_i$ no depende de la serie gracias a Jordan-Hölder. Esta "multiplicidad" de primer ideales tiene una directa geométrica significado en el algebraicas, geométricas caso: por ejemplo, supongamos $R$ integrante de dominio y $M=R/I$ por algún ideal $I\subset R$, $\operatorname{Spec}M$ es un cerrado subscheme de la irreductible esquema de $\operatorname{Spec}R$ (pensar en ellos como algebraica de variedades y subvariedades cuando R es un finitely generado reducción de álgebra sobre un algebraicamente cerrado de campo); en este caso, el primer ideales $\mathfrak p_i$ son precisamente los ideales de la irreductible (y tal vez incrustado) componentes de $\operatorname{Spec}M$, o en otras palabras, el primer ideales asociados a todos los principales ideales de la primaria de la descomposición de $I$. Por lo que el número de veces que un $\mathfrak p$ aparece entre los $\mathfrak p_i$ puede ser pensado como la "multiplicidad" de la componente correspondiente en el esquema, por lo que la suma de las multiplicidades de sus componentes es la longitud de la coordenada anillo de $M$ de los esquema de $\operatorname{Spec}M$.

En general, estas multiplicidades y las longitudes se utilizan en la geometría algebraica para el conteo de los componentes de las intersecciones (por lo tanto la definición de los grados de variedades con toda su multitud de consecuencias importantes, como el teorema de Bézout) y el orden de la desaparición de las funciones racionales para definir principal divisores, por lo que uno puede llegar a lineal y racional de la equivalencia de los divisores y los ciclos de formación fundamental algebraicas invariantes grupos (Chow) para las variedades y esquemas. Por ejemplo, supongamos $X$ ser una variedad algebraica con campo de las funciones de $K(X)$ y deje $V\subset X$ ser una subvariedad de codimension 1 con anillo local $\mathcal O_{X,V}$ (esto puede ser definido como la localización de los regulares en el anillo de la genérica punto de $V$, ver $X$ como un esquema). Entonces para cualquier $f\in R^{\times}\subset K(X)$, la orden de la desaparición de $f$ $V$ se define como el número entero: $$\operatorname{ord}_V (f):=\operatorname{length}_{\mathcal O_{X,V}} \mathcal O_{X,V}/(f)\Rightarrow \\\text{ if } g=\frac{p}{q}\in K(X),\text{ with $p,q\in\mathcal O_{X,V}$ then }\operatorname{ord}_V (g):=\operatorname{ord}_V (p)-\operatorname{ord}_V (q),$$ que está bien definido, precisamente, porque la longitud de los módulos es aditivo en exacta secuencias gracias a Jordan-Hölder teorema de nuevo. El trabajo con este tipo de construcción nos permite definir las intersecciones general de los ciclos en los esquemas, la generalización de la definición clásica de la intersección de la multiplicidad de los dos proyectiva del plano de curvas de $C^n,C^m\subset\mathbb{CP}^2$ definido localmente por el cero loci de polinomios $f,g\in\mathbb C[x,y,z]$ de grados $n,m$: vamos a $P\in C^n\cap C^m$, entonces la intersección de la multiplicidad en cada punto en común (es decir, el número de veces que el punto debe ser contado) es $$m_P (C^n,C^m)=\operatorname{length}_{\mathbb C}(\mathcal O_{\mathbb P^2, P}/(f,g)).$$ Demostrar que la intersección tradicional multiplicidad, tal como se define por el recuento de soluciones comunes de la definición de polinomios a través de la eliminación de la teoría, es igual a la de arriba la longitud de los módulos (en este caso = dimensión del espacio vectorial), es el enfoque típico para mostrar que la multiplicidad es independiente del sistema de coordenadas (que es por qué la mayoría de la geometría algebraica de los libros hoy en día definen $m_P$ directamente a través de longitudes de lugar de raíz algebraica de multiplicidades a través resultantes de polinomios). Esas multiplicidades a través de longitudes que aparecen en el teorema de Bézout y por lo tanto permitir una definición de grado de subvariedades en esos términos (suma de las longitudes de todos el correspondiente cociente de los módulos en cada punto de intersección de la subvariedad con un genérico lineal subespacio de dimensión complementaria).

Por lo tanto Jordan-Hölder teorema para los grupos que se extiende directamente a los módulos y las garantías de un bien definido intrínseca algebraicas invariantes que es una piedra angular en la intersección de la teoría de la geometría algebraica.

Answer 2

Véase la definición de Hilbert de función y sus aplicaciones en la Geometría Algebraica cuando se aplica en finitely generadas $R$-módulos. Mira la secuencia de $M=M_{n}\supseteq \dots\supseteq M_{i}\supseteq \dots\supseteq M_{0}=\{0\}$ donde $\{M_{i}\}^{n}_{i=0}$ son submódulos de $M$. Es una composición de la serie si para cada una de las $1\leq i\leq n$ tenemos $\frac{M_{i}}{M_{i-1}}$ simple $R$-módulo. A continuación, definimos $l(M):=$de la longitud de una composición de la serie de la $R$-módulo de $M$. (Tenga en cuenta que debido a $M$ es finitely generado por lo que hemos dicho de la serie.)

Definición: Dejar $M$ ser calificado de módulo. Entonces

$H:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$

$H(n)=l(M_{n})=\dim_{K}M_{n}<\infty$.

Tiene un montón de usos en la Geometría Algebraica. Puedes ver algunos de ellos y, a continuación, si tienes interés puedes probar a hacer algún equivalente para ellos en el Grupo de Teoría. Una buena referencia es "la Multiplicidad y la Clase de Chern de Variedades", escrito por Roberts.

También preste atención a que todos los $\mathbb{Z}$-módulo nos puede dar una Abelian grupo. A partir de la definición de los módulos como $M$ sobre el anillo de $R$ con los operadores de $+$ y $\cdot$, $M$ tiene que ser un grupo Abelian con $+$. Por el contrario, uno puede comprobar que si $G$ ser un grupo abelian con el operador $+$, mediante la definición de escarificador multiplicación $\cdot\; :\; \mathbb{Z}\times M\rightarrow M$ tal que $k\cdot g:=g^{k}$ el aditivo para alimentación de $g$ en el grupo de la estructura de $G$, $G$ es una $\mathbb{Z}$-módulo.