¿Formular esto bajo ZFC Fije la teoría?

Question

Aquí es un lexema dado en Munkres-Elementos de topología algebraica

Esta afirmación parece imposible ser codificado en la teoría de conjuntos ZFC. La condición de $(a)$ puede ser formulado en ZFC, sino $(b)$ parece imposible ser formulado en ZFC. Podría ser codificado en la teoría de conjuntos ZFC?

Por ejemplo, ya que no es un completo modo explícito para la construcción de la homología singular grupos de espacios topológicos, diciendo: "hay una homología functor $H_n:Top\rightarrow Ab$" puede ser completamente formulado en ZFC. Sin embargo, la condición de $(b)$ afirma que existe una clase de $\{D_X:X\in Top\}$ tal que $D_X$ es natural para todos los $X$. Esto no puede ser formulado en ZFC. Me pregunto si hay un inteligente truco para evitar este problema de tamaño.

Answer 1

Sí, esto puede ser expresado en ZFC. El problema, como usted afirma, es que el "mapa" $D:X\mapsto D_X$ es una función de la clase, ya que no hay clase adecuada-muchos de los espacios topológicos. Sin embargo, esto está bien: el mapa de $D$ es definible por una (muy sucio) fórmula $\psi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, por lo que, en lugar de escribir por ejemplo "$D_X$ satisface ...", por el contrario, podemos escribir "Para cada $A$ si $\psi(A, X)$ sostiene, a continuación, $A$ satisface . . .". (¿Por qué es $D$ definible? Mira la prueba del lema!)

Por supuesto, el tratamiento general de la clase de mapas hace ir más allá de ZFC, sea para una clase de teoría como $NBG$ o $MK$ o a ZFC aumentada con apropiadamente grandes conjuntos, por ejemplo, ZFC+Universos. Pero esto es innecesario, aquí, y en la mayoría de los contextos.