Uno no puede definir un monoidal simétrica smash producto para el común de los espectros debido a la torcedura de isomorfismo estar involucrado.
Pero aún así, el estable homotopy categoría (considerado como el homotopy categoría de la modelo estable de la estructura de los espectros) puede ser equipado con un monoidal simétrica smash producto, que he leído.
Mi primera pregunta es: ¿puedo definir este smash producto en el homotopy categoría de la modelo estable de la estructura de los espectros mediante el establecimiento de
$$
(X\wedge Y)_n=\bigvee_{p+q=n} X_p\wedge Y_q
$$
con la estructura de los mapas inducida por (sólo) la estructura de los mapas de $Y$ definido por un coequalizer
$$
\bigvee_{p+q=n-1} X_p\wedge Y_q \wedge S^1\stackrel {\,} {\} \bigvee_{p+q=n} X_p\wedge Y_q
$$
donde uno de los usos de los mapas y el mapa de la estructura de $X$ y el otro uno de los interruptores de los factores y utiliza el mapa de la estructura de $X$.
Si sí, ¿cuál es la razón de que esto define un monoidal operación en la homotopy categoría? Probablemente esto es una consecuencia del hecho (?) que la aplicación de la torsión $\tau$ es homotópica a la identidad, pero yo no veo por qué esto debe ser así, ni cómo se supone la existencia de smash producto.
Hay dos maneras de extender el functor $-\wedge S^1$ sobre los espacios a los espectros, por ejemplo, mediante el establecimiento $(X\wedge S^1)_n=X_n\wedge S^1$ y la estructura de los mapas $$ X_n\wedge S^1\wedge S^1\xrightarrow{id\wedge\tau}X_n\wedge S^1\wedge S^1\a X_{n+1}\wedge S^1. $$ El otro no implica el giro.Estos functors debe corresponder en el establo homotopy categoría rompiendo con la esfera del espectro de $S$.
Pero la evaluación de $X\wedge S$ con el smash producto (si es que en realidad es la definición correcta) definido anteriormente da $(X_0\wedge S^0)$, $(X_1\wedge S^0\vee X_0\wedge S^1)$, $\ldots$ lo que no se ve bien. Mi segunda pregunta es: ¿Qué me estoy perdiendo aquí?
