Fractales - cuando el número de formas de semilla que puede caber en la copia de escalado-para arriba es no entero.

Question

He oído a gente decir (por ejemplo. aquí) que la dimensión de los patrones fractales (en particular, en esta pregunta, Lindenmayer fractales) puede ser formulada de la siguiente manera:

$$D=\frac{\ln N}{\ln S}$$

Donde $N$ es el número de copias de la forma de semilla, que se acomodan en una copia a escala por el factor de escala $S$.

La lógica es simple y funciona para las formas simples de enteros de dimensión. Tomar una línea de longitud de la $1$ y la escala es por $S=2$, y se puede encajar 2 líneas originales en la escala de copia, dando a $N=2$ e lo $D=1$, como era de esperar. Tomar una unidad cuadrada y escala por $S=2$ y consigue $N=4$ e lo $D=2$. Hacer el mismo proceso para el cubo y consigue $D=3$.

Esta lógica se extiende, de manera inductiva, a los patrones con los no-entero dimensión como el Polvo de Cantor, la Sierpinski gasket, la alfombra de Sierpinski.

La semilla forma de la Sierpinski gasket, por ejemplo, es:

La escala de la $S=2$ y tienes:

Usted puede ver fácilmente que a las 3 de la semilla formas de ajuste en la escala de la copia. Por lo tanto,

$$D=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}$$

como es bien sabido.

Ahora mi pregunta: ¿Qué acerca de la semilla de formas que no encajan perfectamente en la escala de las copias? Por ejemplo, lo que si puedo agregar un pequeño triángulo en el centro de la Sierpinski gasket forma de semilla...

Y, a continuación, escala por $S=2$ nuevo:

Cuántas semillas formas encajan dentro de esta escala de copia? Claramente, tres semilla entera formas de ajuste, pero también hay un residual triángulo en el centro de la copia. Por lo $N=3+r$ y $$D=\frac{\ln(3+r)}{\ln(2)}$$

donde $r$ es "residual" de la forma de semilla. Cómo calcular el $r$? Esto plantea otras preguntas como ¿qué es exactamente lo que constituye una "copia". ¿Qué significa hablar de una fracción de una copia, etc.?

La lógica de la primera ecuación en este post es divertido e intrigante, pero es (creo) puramente inductivo. No hay ningún teorema de probarlo. (Corríjanme si estoy equivocado). El ejemplo he aquí el punto a una trampa en la lógica?

Answer 1

El estándar de auto-similitud

Los fractales son a menudo construidos utilizando un procedimiento recursivo y auto-similares, en particular, están construidos siempre de esta manera. Creo que la mayoría de las personas que trabajan en la geometría fractal imagino que su imagen implica una relación de recurrencia para la construcción como:

Tenga en cuenta que la primera es de un inicial de la semilla. El segundo set se compone de tres copias de la primera escala por el factor de $1/2$ (los tres externa triángulos azules) y una copia de la primera escala por el factor de $1/4$ (el interior rojo-ish pieza). Este patrón puede ser analizada como una auto-similares. En general, tenemos un único conjunto compuesto de copias de sí mismo a escala por los factores de $r_1,r_2,\ldots,r_n$. Suponiendo que las copias no se superponen, la dimensión del conjunto es el único número $s$ tal que $$\sum_{i=1}^n r_i^s = 1.$$ De hecho, me respondió a una pregunta de hoy indica por qué no existe un único tal $s$ y como resolver en general.

La dimensión es el número único de $s$ tal que $$\frac{3}{2^s} + \frac{1}{4^s} = 1.$$ Esto puede ser escrito $$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^s\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^s - 1 = 0.$$ Sustituyendo $q=(1/2)^s$, obtenemos $$q^2+3q-1=0,$$ cuya única solución es positiva $$q=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}.$$ La dimensión de su conjunto es, por tanto, $$\frac{\log(\frac{-3+\sqrt{13}}{2})}{\log(1/2)} \approx 1.72368.$$ Como se señaló en los comentarios, esperamos que este sea más grande que la dimensión fractal de Sierpinski gasket o $$\frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.58496.$$

La condensación

Como usted menciona, el triángulo central en su ejemplo, se mantiene fijo a lo largo de la primera a la segunda etapa. Aunque no creo que te he dado una definición precisa de lo que está pasando aquí, esto es una reminiscencia de un Iterada de la Función con Sistema de condensación - un término acuñado por Michael Barnsley en su libro Fractales en todas partes. En este esquema, la condensación conjunto prolifera en todo el fractal más con cada conjunto. Más precisamente, tenemos una lista de funciones $(f_1,f_2,\ldots,f_m)$ y definimos una operación $T$ sobre los conjuntos de $$T(E) = \bigcup_{i=1}^m f_i(E).$$ En el $n^{\text{th}}$ etapa de construcción, se incluyen $$\bigcup_{k=1}^n T^k(E)$$ en nuestra imagen. La secuencia de aproximaciones ahora se ve más como:

Tenga en cuenta que los triángulos negros son exactamente las mismas que en el estándar de la aproximación a la Sierpinski gasket. Es decir, si \begin{align} f_1(x) &= x/3 \\ f_2(x) &= x/3 + \langle 1/2,0 \rangle \\ f_3(x) &= x/3 + \langle 1/4, \sqrt{3}/4 \rangle \end{align} y $D$ es el triángulo equilátero cuya base es la unidad de intervalo, entonces la parte negra en el $n^{\text{th}}$ etapa es exactamente $T^n(D)$.

La inicial de la porción gris es el conjunto de condensación $C$ y todos los de gris a lo largo de la $n^{\text{th}}$ aproximación es $$\bigcup_{i=1}^n T^k(C).$$

Tenga en cuenta que la única diferencia entre la generación del atractor y el generador de la condensación de la porción es la unión en la condensación está ausente para el atractor y esta unión es la razón por la condensación conjunto persiste durante toda la construcción.

Barnsley, resulta que se interesan principalmente la participación de las aplicaciones de compresión de imagen para su introducción de la condensación en los sistemas de función iterada fue motivado en gran medida por la aplicación.

El análisis dimensional de estos conjuntos, por el contrario, no es terriblemente emocionante. Su ejemplo (si la tengo a la derecha), debe tener dimensión dos. Ciertamente no puede tener dimensión mayor que dos, ya que está contenida en el plano, pero se debe tener la dimensión de al menos dos, ya que contiene un triángulo sólido. No hay mucho de fantasía en el trabajo a ser realizado.

De manera más general, la dimensión de una auto-similar conjunto con la condensación es el más grande de la dimensión de la condensación y el conjunto de la dimensión del atractor.