He hecho este post a ver si estoy pensando en derecho y dejar que otros leer y entender lo que el "u-sustitución de" método para la integración viene. Yo realmente odio sustituciones, porque usted ha perdido la pista de lo que está sucediendo. He leído las entradas relacionadas en este foro y llegaron a la siguiente conclusión:
La integral u-sustitución es un buen método para encontrar algunas de las integrales. Se trata de la regla de la cadena:
$$\frac{df(g(x))}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}$$
Para mí, $\frac{df(x)}{dx}$ es sólo una notación para la derivada de la función $f$ con respecto al $x$, por lo que no hay refiero sólo para $df$ o sólo $dx$ solo.
Cuando integramos ambos lados:
$$\int \frac{df(g(x))}{dx}dx = \int\frac{df(g(x))}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}dx$$
Entonces: $$\underbrace{f(g(x)) + C}_{\text{integral of a derivative}}= \int\frac{df(g(x))}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}dx\tag{1}$$
Así que si queremos integrar a alguna función en la forma $\int\frac{df(g(x))}{dg(x)}\frac{dg(x)}{dx}dx$ esto va a ser igual a $f(g(x)) + C$. Es por eso que podemos integrar a $\cos(2x)$ de esta forma:
$$\int \cos(2x)dx = \int \frac{d\sin(2x)}{d2x}\frac{2}{2}dx = \frac{1}{2}\int\frac{d\sin(2x)}{d2x}\cdot2 \ \ dx$$
Ver cómo es posible que no cambie el integrando en todos, sino que se multiplica y se divide por $2$ para obtener el formulario de $$\frac{d\sin(2x)}{d[2x]}\frac{d[2x]}{dx} = \frac{d\cos(2x)}{dx}$$ Entonces, puedo coincidir con el patrón en $(1)$ a integrar como este: $$\begin{align} &\int\frac{d\color{#F01C2C}{f(}\color{Blue}{g(x)}\color{#F01C2C}{)}}{d\color{Blue}{g(x)}}\color{#01cf84}{\frac{dg(x)}{dx}}dx = \color{#F01C2C}{f(}\color{Blue}{g(x)}\color{#F01C2C}{)} + C \\ \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}&\int\frac{d\color{#F01C2C}{\sin(\color{Blue}{2x})}}{d\color{Blue}{2x}}\cdot\color{#01cf84}{\ \ 2} \ \ \ \ dx = \frac{1}{2}\color{#F01C2C}{\sin(\color{Blue}{2x})} + C\end{align}$$
Así que... estoy en lo cierto? ¿Te sientes cómodo haciendo las sustituciones? Sería esta técnica aceptable en mis exámenes de matemáticas? (Yo realmente prefiero esto que el método de sustitución).
Actualización:
Vamos a hacer esta integral: $$\int x\ln(\cos(x^2))\sin(x^2)\mathrm dx$$ Voy derivado $\cos(x^2)$:
$$\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$$
A continuación, voy a multiplicar y dividir el integrando por este resultado:
$$ \begin{align} \int x\ln(\cos(x^2))\sin(x^2) \color{#F01C2C}{\frac{-2x\sin(x^2)}{-2x\sin(x^2)}}dx = \color{#F01C2C}{-\frac{1}{2}}&\int \ln(\cos(x^2))\cdot\color{#F01C2C}{-2x\sin(x^2)}dx \\ &\int\frac{df(g(x))}{dg(x)} \ \ \ \ \ \ \frac{dg(x)}{dx} \ \ \ \ \ \ \ dx \\=&f(g(x)) + C \end{align} $$ Así, integrar esto, sólo tenemos que encontrar la antiderivada de $\ln$ y aplicarlo a un 'punto' $\cos(x^2)$. La antiderivada de $\ln$ $x(\ln(x) - 1)$ por integración por partes. La aplicación de a $\cos(x^2)$ tenemos: $\cos(x^2)(\ln(\cos(x^2))-1)$ (esta es la antiderivada en $\cos(x^2)$ o $g(x)$. De vuelta en nuestras integral:
$$\color{#F01C2C}{-\frac{1}{2}}\int \ln(\cos(x^2))\cdot\color{#F01C2C}{-2x\sin(x^2)}dx = \color{#F01C2C}{-\frac{1}{2}}\cos(x^2)(\ln(\cos(x^2))-1)$$
