Calcule $ \int \frac {dx}{x \sqrt {x^2-1}}$

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente integral

$$ \int \frac {dx}{x \sqrt {x^2-1}}$$

Hice los siguientes pasos dejando $u = \sqrt {x^2-1}$ así que $ \text {d}u = \dfrac {x}{ \sqrt {{x}^{2}-1}}$ entonces

\begin {alinear} & \int \frac { \sqrt \text {d}u}{x \sqrt {x^2-1}} \\ & \int \frac {1}{x} \text y \\ & \int \frac {1}{ \sqrt {u^2+1}} \text y \\ \end {alinear}

Ahora, aquí es donde tengo problemas. ¿Cómo puedo evaluar eso? Por favor, proporcione sólo pistas

¡Gracias!

EDITAR:

El problema establece específicamente que se debe utilizar la sustitución con $u = \sqrt {x^2-1}$ . Este problema es del curso de curso de cálculo de una sola variable.

Answer 1

$$ \int\frac {dx}{x \sqrt {x^2+1}} = \int\frac {x\,dx}{x^2 \sqrt {x^2+1}} = \int\frac {1}{x^2 \sqrt {x^2+1}} \Big (x\,dx \Big ) $$

Los grandes paréntesis son, por supuesto, un indicio de que lo que hay dentro de ellos se convertirá $du$ o un tiempo constante $du$ . Pero debería $u$ ser $x^2$ o $x^2+1$ ? De cualquier manera, $ \displaystyle\Big (x\,dx \Big )$ se convierte en $ \displaystyle\Big ( \frac12\ ,du \Big )$ . Creo que normalmente es mejor que la cosa bajo el radical sea simple, así que diré $u=x^2+1$ y tenemos $$ \frac12\int\frac {du}{(u-1) \sqrt {u}}. $$ Podemos racionalizar $ \sqrt {u}$ dejando que \begin {alinear} w & = \sqrt {u} \\ w^2 & = u \\ 2w\,dw & = du \end {alinear} y tenemos $$ \frac12\int\frac {2w\,dw}{(w^2-1)w} = \int\frac {dw}{w^2-1}. $$ Entonces usa fracciones parciales, obteniendo $$ \int\left ( \frac {A}{w-1}+ \frac {B}{w+1} \right )\,dw $$ y tienes que averiguar qué $A$ y $B$ son.

Eso funciona, pero también me viene a la mente una sustitución trigonométrica. La expresión $ \sqrt {x^2+1}$ debería recordarle $ \sqrt { \tan ^2 \theta +1}= \pm\sec\theta $ y si no te recuerda eso, es algo en lo que hay que trabajar. Revisa algunas sustituciones de trigonometría y trigonometría. Si $x= \tan\theta $ entonces $dx= \sec ^2 \theta\ ,d \theta $ y tenemos $$ \int\frac { \sec ^2 \theta\ ,d \theta }{ \tan\theta\sec\theta } = \int\frac { \sec\theta\ ,d \theta }{ \tan\theta } = \int\csc\theta\ ,d \theta. $$ Es difícil de hacer desde cero, pero también se puede buscar en las tablas estándar.

Answer 2

Estuviste básicamente allí, sólo un pequeño desliz en el proceso de sustitución, deberías haber terminado con $ \frac {1}{u^2+1}$ .

Reescribir nuestra integral como $$ \int \frac {x\,dx}{x^2 \sqrt {x^2-1}}.$$ Haga la sustitución $u= \sqrt {x^2-1}$ . Luego $du= \frac {x}{ \sqrt {x^2-1}}\,dx$ así que $x\,dx=u\,du$ .

El resto te lo dejo a ti. Será muy fácil, una línea corta.

Answer 3

Tenías la "esencia" de lo que necesitabas hacer, pero como otros han señalado, tu sustitución debería producir el integrando $ \dfrac {1}{u^2+1}$ .

Tenemos $$ \int \frac {dx}{x \sqrt {x^2 - 1}} = \int \frac {x\,dx}{x^2 \sqrt {x^2-1}}$$ Como usted lo hizo, dejamos $\, u= \sqrt {x^2-1}$ . Luego $du= \frac {x}{ \sqrt {x^2-1}}\,dx$ así que $x\,dx= \sqrt {x^2 - 1}\,du = u \,du$ .

Tengan en cuenta que $$u = \sqrt {x^2 - 1} \implies u^2 = x^2 - 1 \iff x^2 = u^2 + 1 $$

Así que la sustitución nos da $$ \int \frac {x\,dx}{x^2 \sqrt {x^2-1}} = \int \dfrac {u \,du}{(u^2 + 1)u} = \int \frac {du}{u^2 + 1}$$

Ahora, podemos usar sustitución trigonométrica y dado un denominador de la forma $u^2 + 1$ poner $u = \tan \theta $ . Esto nos da: $$ \int \frac {du}{u^2 + 1} = \arctan (u) + C = \arctan ( \sqrt {x^2 - 1}) + C$$

Answer 4

El primer paso debería ser hacer la sustitución $x= \sec (u)$ en lugar de $y= \sqrt {x^2-1}$ . Luego $ \sqrt {x^2-1}= \sqrt { \sec ^2(u)-1}= \tan (u)$ . También $dx= \sec (u) \tan (u)du$ .

Y la integral se convierte en la ordinaria integral de trigonometría.

Pero calculadora integral con pasos muestra otra posibilidad. Empieza desde $y=x^2$ luego haz otra sustitución y finalmente llegarás a la función racional simple.

Answer 5

Cuando $x = \sin u$ , $ \displaystyle\int\frac {dx}{x \sqrt {x^2 -1}} \, dx$ se convierte en $ \displaystyle\int\frac { \cos u \, du}{ \sin u \sqrt {- \cos ^2u}}$ .