Encontrar los valores exactos de m.

Question

Estoy en una escuela americana de alta pero mi maestra me dio algunas preguntas de la PDBI y estoy luchando para resolver uno de ellos:

Encontrar los valores exactos de $m$ para que la línea $y= mx+3$ es tangente a la curva con ecuación $y=3x^2 -x +5$

Answer 1

¿Qué significa para $y=mx+3$ a ser tangente a $y=3x^2-x+5$? Esto significa que la ecuación cuadrática $3x^2-x+5-(mx+3)=0$ tiene exactamente una solución, o, equivalentemente, el discriminante es cero, así que...

Edit: como por @Glen O comentario, me parece necesario aclarar un poco cómo mi método funciona.

Deje $f(x)$ denotar la función cuadrática. A continuación, $f'(x)$ (la pendiente) es distinto de cero la función lineal, por lo que es estrictamente monótona, o, más en general, es inyectiva en a $\Bbb R$. Ahora, dada una línea de $l$ cuya pendiente es $k$, supongamos que se intersecta con la curva de la función cuadrática en dos distintos puntos de $a,b$$a<b$, luego por Lagrange MVT, existe $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=k$. Pero $f'(x)$ es inyectiva, por lo que ni $f'(a)$ ni $f'(b)$ es igual a $k$, lo $l$ no debe ser tangente a $y=f(x)$.

Answer 2

OK por lo que comenzó estableciendo las ecuaciones iguales entre sí, que me dio:

$mx + 3 = 3x^2 -x +5$

Os pongo el 3 en el otro lado:

$mx = 3x^2 -x +2$

Luego puse igual a cero:

$3x^2 + x(1-m) +2 = 0$

Y ahora estoy atrapado. Probé usando el discriminante o la fórmula cuadrática pero recibí respuestas muy complicadas y no me parece bien. He intentado resolverlo durante los últimos 30 minutos y se me ocurrió ninguna respuesta.

Se agradecería cualquier entrada.

Answer 3

Necesitamos encontrar a $x$ valores para que las pistas son las mismas, y la $y$ valores son los mismos. Eso es lo que la tangente medios. Deje $f(x) = mx + 3$ y deje $g(x) = 3x^2 - x + 5$.

En primer lugar tomar la derivada de $g(x)$, que es $$g'(x) = 6x - 1.$$ Esto le dará la pendiente en cualquier punto dado.

Queremos $m$ a ser igual a $g'(x)$, por lo que tienen la misma pendiente. También queremos $f(x)$ a la igualdad de $g(x)$. Así tenemos las dos ecuaciones: $$m = 6x - 1$$ y $$mx + 3 = 3x^2 - x + 5.$$ Podemos sustituir el $6x - 1$ $m$ en la segunda ecuación $$(6x - 1)x + 3 = 3x^2 - x + 5$$ y resolver para $x$.