Prueba $\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2}\ge 6$ , dado $x+y+z=3$ y $x,y,z\ge0$

Question

Dejemos que $x+y+z=3,x,y,z\ge 0$ demuestran que $$\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2}\ge 6$$

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Información adicional

He visto el siguiente problema:
$x,y,z>0,x+y+z=3$ , demuestre que $$\sqrt{x^2+y+2}+\sqrt{y^2+z+2}+\sqrt{z^2+x+2}\ge 6.$$

Sin pérdida de generalidad podemos dejar que $x=\max{\{x,y,z\}}$

Prueba : caso 1 $x\ge y\ge z$

podemos demostrar fácilmente $$\sqrt{y^2+z+2}+\sqrt{z^2+x+2}\ge\sqrt{y^2+x+2}+\sqrt{z^2+z+2}$$

y $$\sqrt{x^2+y+2}+\sqrt{y^2+x+2}\ge\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{y^2+y+2}$$

por lo que tenemos $$\sqrt{x^2+y+2}+\sqrt{y^2+z+2}+\sqrt{z^2+x+2}\ge \sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{y^2+y+2}+\sqrt{z^2+z+2}.$$

A continuación, utilice $$\sqrt{x^2+x+2}\ge\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$$ $$\sqrt{y^2+y+2}\ge\dfrac{3}{4}y+\dfrac{5}{4}$$ $$\sqrt{z^2+z+2}\ge\dfrac{3}{4}z+\dfrac{5}{4}$$ para obtener el resultado. Mientras que el caso 2 cuando $x\ge z\ge y$ se puede demostrar con los mismos métodos.

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Ahora, tengo otra idea: usando la desigualdad de Holder tenemos $$\left(\sum\sqrt{x^2+yz+2}\right)^2\left(\sum\dfrac{x^2+2yz+9}{x^2+yz+2}\right)\ge 36^3$$ $$\Longleftrightarrow \sum\dfrac{x^2+2yz+9}{x^2+yz+2}\le 1296$$

y el siguiente enlace tiene una discusión sobre este problema http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=538230

y http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=538752&p=3097872#p3097872

y Vasc dio la pista:

$$\sum\sqrt{8(a^2+bc+2)}\ge \sum\sqrt{(3a+b+c)^2+7}\ge 12\sqrt 2$$

¿Cómo probar esta pista? Gracias a todos.

y mi otra idea es la siguiente:

dejar $a=\min(a,b,c)$ podemos demostrar $$\sqrt{b^2+ca+2}+\sqrt{c^2+ab+2}\geq \sqrt{(b+c)^2+2a(b+c)+8-(b-c)^2}\tag{1}$$ \begin{align*} &\sqrt{a^2+bc+2}+\sqrt{(b+c)^2+2a(b+c)+8-(b-c)^2}\\ \geq &\sqrt{a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+2}+\sqrt{(b+c)^2+2a(b+c)+8} \tag{2} \end{align*} Resumen \begin{align*} &\sum_{cyc}{\sqrt{a^2+bc+2}}\\ \geq &\sqrt{a^2+\frac{(b+c)^2}{4}+2}+\sqrt{(b+c)^2+2a(b+c)+8}\\ =&\sqrt{a^2+\frac{(3-a)^2}{4}+2}+\sqrt{(3-a)^2+2a(3-a)+8} \end{align*}

Por cierto: alguien dijo $(1)$ ¿es un error? ¿por qué? ¿alguien puede dar un ejemplo? ¿Y ojalá alguien pueda usar este método para demostrar esta desigualdad? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Resolvamos

$$ \min \Bigg[\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2} \Bigg]$$ con sujeción a

$$ x+y+z=3 \\ x\ge0 \\ y\ge 0 \\ z\ge 0 $$

Formalmente, esto se hace con la condición de Kuhn-Tucker. Escriba estos, explotar las simetrías, tenga en cuenta que las restricciones de no negatividad no se unen.

Solución: $x=y=z=1$ . Por lo tanto, el valor mínimo del objetivo es $6$ .

La otra desigualdad admite la misma prueba.

detalles: ver wiki o original papel para los detalles de las condiciones KKT. $$ L(x,y,z,\lambda,\mu_1,\mu_2,\mu_3) = -\Bigg[\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2} \Bigg] + \lambda[x+y+z=3] + \mu_1[x-0] +\mu_2[y-0] +\mu_3[z-0] $$ Condiciones KKT: \begin{align} [x]\qquad -\frac{1}{2}\eta_1 2x -\frac{1}{2}\eta_2 z-\frac{1}{2}\eta_3 y &= \lambda - \mu_1 \\ [y]\qquad -\frac{1}{2}\eta_1 z -\frac{1}{2}\eta_2 2y-\frac{1}{2}\eta_3 x &= \lambda - \mu_2 \\ [z]\qquad -\frac{1}{2}\eta_1 y -\frac{1}{2}\eta_2 x-\frac{1}{2}\eta_3 2z &= \lambda - \mu_3 \\ [\lambda]\qquad\qquad\qquad\qquad\quad x+y+z&=3\\ [\mu_1]\qquad \mu_1\ge 0\qquad\text{and}\qquad \mu_1x&=0 \\ [\mu_2]\qquad \mu_2\ge 0\qquad\text{and}\qquad \mu_2y&=0 \\ [\mu_3]\qquad \mu_3\ge 0\qquad\text{and}\qquad \mu_3z&=0 \\ \end{align} donde $\eta_1 = (x^2+yz+2)^{-1/2},\eta_2 = (y^2+zx+2)^{-1/2}$ y $\eta_1 = (z^2+xy+2)^{-1/2}$

Los métodos KKT establecen que el mínimo del objetivo debe ser una solución (para algunos $\lambda,\mu_1,\mu_2,\mu_3$ ) al sistema anterior.

Wlog, dejemos que $x=\max\{x,y,z\}$ para que $x>0$ y $\mu_1=0$ .

Caso 1: $y=z=0$ . Resolver para $\lambda$ de $[x]$ y observe que $\mu_2 <0$ Por lo tanto, este caso está vacío.

Caso 2: $y=0$ y $z=3-x\ne0$ . Entonces $\mu_3=0$ . Resolver para $\lambda$ en $[x],[z]$ , iguala las dos expresiones y deduce que $x=z$ . Observe que $\mu_2<0$ (en $x=z$ ), por lo que este caso está vacío.

Caso 3: $\mu_1=\mu_2=\mu_3=0$ para que las restricciones de no negatividad sean flojas. Igualar el lado izquierdo de las condiciones $[x],[y],[z]$ , combinar con la condición $[\lambda]$ para resolver $x,y,z$ .

Answer 2

Aquí hay una explicación de la pista de Vasc que mencionaste, que esencialmente resuelve el problema. Reproducirlo aquí como: $$\sum _{\text{cyc}} \sqrt{8\left(x^2+ \text{yz} + 2\right)}\geq \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(3x+y+z)^2+7} = \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(2x+3)^2+7}\geq 12\sqrt{2}$$

Ahora la última desigualdad se deduce inmediatamente de la desigualdad de Minkowski y $\sum x=3$ por lo que a continuación me centraré sólo en la primera desigualdad.

La desigualdad $\displaystyle \sum _{\text{cyc}} \sqrt{8\left(x^2+ \text{yz} + 2\right)}\geq \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(2x+3)^2+7}$ puede establecerse mediante la concavidad de Schur de la función vectorial $f{(\color{blue}{u}}) = \sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}$ . Esta función es simétrica y cóncava, por lo que es cóncava de Schur. Alternativamente, no es difícil establecer la condición $$\left(u_i- u_j\right)\left(\partial _{u_i}f-\partial _{u_j}f\right) = -\frac{\left(u_i- u_j\right){}^2}{\sqrt{u_i u_j}} \leq 0.$$

<< Si no está familiarizado con la propiedad cóncava de Schur, debería ser posible derivar resultados similares utilizando el lema $\sqrt{x-\epsilon }+\sqrt{y+\epsilon }\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ . Esto se demuestra fácilmente si $x-y \ge \epsilon \ge 0$ al cuadrado. Utilizando la secuencia $$[x, y, z] \succ [x - u, y + u, z] \succ [x - u, y + u - (v + u), z + (u + v)]$$ y aplicando el lema dos veces, se puede establecer $$\sqrt{x-u}+\sqrt{y-v}+\sqrt{z+u+v}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$ y las condiciones necesarias.>>

Como $f{(\color{blue}{u}})$ es cóncava de Schur, si tenemos $\color{blue}{a} \text{ and } \color{blue}{b}$ dos vectores tales que $\color{blue}{a}$ se especializa $\color{blue}{b}$ es decir $\color{blue}{a} \succ \color{blue}{b} \implies f(\color{blue}{a})\leq f(\color{blue}{b})$ . En este caso tenemos que demostrar que considerados como vectores, $$\left[(2x+3)^2+7,(2y+3)^2+7, (2z+3)^2+7\right] \succ \left[8\left(x^2+\text{yz}+2\right),8\left(y^2+\text{zx}+2\right), 8\left(z^2+\text{xy}+2\right)\right]$$

Si $s = xy+yz+zx$ tenemos $$\sum _{\text{cyc}} \sqrt{8\left(x^2+\text{yz}+2\right)}= \sum _{\text{cyc}} \sqrt{8x^2+8\text{yz} + (x+y+z)^2+7} = \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(3x+y+z)^2+7+ 4(2\text{yz}- \text{xy}-\text{zx})} = \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(2x+3)^2+7+ 4(3\text{yz}-s)}$$

Dejemos que $\displaystyle a = (2x+3)^2+7, b = (2y+3)^2 + 7 \text{ and } c = (2z+3)^2+7$ . Además, deja que $u = 4(s-3\text{yz}) \text{ and } v = 4(s-3\text{zx})$ . Ahora $\displaystyle x \geq y \geq z \Longrightarrow \text{xy} \geq \text{zx} \geq \text{yz} \Longrightarrow u \geq 0$ y $u+v \geq 0$ y las desviaciones están en orden inverso a la ordenación de $a, b, c$ - por lo que se dan las condiciones necesarias para la mayorización. Cabe señalar que, en sentido estricto, las desviaciones tienen una media $0$ y se ordenan de forma que los componentes se "acerquen", aumentando así el valor de la función cóncava.

Como $[a, b, c] \succ [a-u, b-v, c+(u+v)]$ tenemos $\displaystyle \sum _{\text{cyc}} \sqrt{8\left(x^2+ \text{yz} + 2\right)}\geq \sum _{\text{cyc}} \sqrt{(2x+3)^2+7}$ .

Espero que haya un método más sencillo para establecer esto. Otro posible enfoque podría ser comprobar directamente si $\displaystyle F(x, y, z) = \sum _{\text{cyc}} \sqrt{x^2+ \text{yz} + 2}$ es Schur-convexo, en cuyo caso cualquier $[x, y, z]\succ [1, 1, 1]$ y toda la prueba está hecha. $F$ es simétrica, pero también tenemos que comprobar si $x-y)\left(\partial _xF -\partial _yF\right)\geq 0$ por esto.

Answer 3

Aquí está mi dibujo, sobre todo para convencer a los que enfoque alternativo (es decir, las desigualdades en lugar de buscar como mínimo) realmente puede ser posible. En el otro lado, la utilidad de la desigualdad "diferencial" de la naturaleza (que es, creo que puede ser más fácilmente demostrado por la diferenciación, pero puede haber otras maneras de prueba).

Nos deja denotar $a=x^2+yz, b=y^2+zx, c=z^2+xy$; a continuación,

$$a+b+c=x^2+yz+y^2+zx+z^2+xy=x^2+y^2+z^2+\frac{1}{2}((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))=$$ $$=x^2+y^2+z^2+4.5-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)\ge\frac{1}{2}3+4.5=6$$

Starting from reasonably looking inequality $\sqrt{u+2}+\sqrt{v+2}+\sqrt{n+2}\ge\sqrt{u+v+w+18}$ (where $u,v,w\ge 0$) we let $u=a,v=b,w=c$ and conclude that $$\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2}\ge\sqrt{24}=\frac{6}{\sqrt{3/2}}$$

Starting from another inequality $f(u,v,w)\equiv\sqrt{u+2}+\sqrt{v+2}+\sqrt{n+2}\ge g(u,v,w)\equiv\sqrt{3(u+v+w)+18} $ (where $u,v,w\ge 0$ and $u\aprox v\aprox w$) we let $u=a,v=b,w=c$ and conclude that $$\sqrt{x^2+yz+2}+\sqrt{y^2+zx+2}+\sqrt{z^2+xy+2}\ge\sqrt{36}=6$$

Last inequality was made so that $f(2,2,2)=g(2,2,2)$ and $f'_u(2,2,2)=g'_u(2,2,2)$, $f'_v(2,2,2)=g'_v(2,2,2)$, $f'_w(2,2,2)=g'_w(2,2,2)$ (and yes, we need to analyze $f"$ vs. $g"$ too). Last inequality DOES NOT hold when, say, $u=7,v=0,w=0$ (5.83 vs. 6.25) so one probably need another similar inequality to cover, say, cases like $u\approx3v\approx3w$

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Note, that it may be possible that I shall not convert the sketch into real proof.

I do not want to say that this alternative approach (that closely mimics differentiation) is the only possible. There may be possible other approaches, for example, based on the following lemma:

Let $U\ge u \ge \delta\ge 0$, then $\sqrt{U}+\sqrt{u}\ge\sqrt{U+\delta}+\sqrt{u-\delta}$

Tal enfoque puede ser mucho más elegante, pero yo todavía no tenía éxito con él.

Answer 4

He aquí un esbozo de otro enfoque alternativo.

Variables de sustitución $x=a+1,y=b+1,z=c+1$ Entonces $$f(a,b,c)=\sqrt{4+a^2+bc+a}+\sqrt{4+b^2+ca+b}+\sqrt{4+c^2+ab+c}$$ - Aproveché el hecho de que $a+b+c=x+y+z-3=0$ También hay que tener en cuenta que $-1\le a,b,c \le 2$

Utilizar la fórmula de Taylor $\sqrt{4+t}=2\sqrt{1+\frac{t}{4}}=2+\frac{t}{4}-\frac{t^2}{16}+R(t)$ para conseguir la ampliación de Taylor para $f$ hasta el segundo grado; tengo $$64f=64\cdot6+16(a+b+c)+15(a^2+b^2+c^2)+16(ab+bc+ca)+R(a,b,c)=64\cdot6+7(a^2+b^2+c^2)+R(a,b,c)$$ - Vuelvo a explotar que $(a+b+c)^2=0$

Por lo tanto, es el mínimo local; después de obtener algún límite para $R(a,b,c)$ se puede obtener un valor para $\varepsilon$ para concluir que para cualquier $a,b,c$ que $|a|<\varepsilon,|b|<\varepsilon,|c|<\varepsilon$ tenemos $f(a,b,c)\ge 6$

A continuación, recordamos que $a^2+bc+a=x^2+yz\ge0,...$ Así que $$|f'_a(a,b,c)|\le |\frac{2a+1}{2\sqrt{2}}+\frac{c}{2\sqrt{2}}+\frac{b}{2\sqrt{2}}|\le\frac{9}{2\sqrt{2}}$$ y así $|f'_b(a,b,c)|\le \frac{9}{2\sqrt{2}}$ , $|f'_c(a,b,c)|\le \frac{9}{2\sqrt{2}}$

El último paso es simplemente el cálculo por fuerza bruta de los valores de $f$ en red de puntos $a=\frac{k}{N}$ , $b=\frac{l}{N}$ , $c=-\frac{k+l}{N}$ (excepto los valores que se encuentran en $|a|<\varepsilon,|b|<\varepsilon,|c|<\varepsilon$ donde $f\approx 6$ ) donde $N$ suficientemente grande y $-N\le (k,l,-k-l)\le 2N$ Después de este cálculo, se puede observar que $f(\frac{k}{N}, \frac{l}{N}, -\frac{k+l}{N})>6+\frac{3\cdot 9}{2\sqrt{2}N}$ por lo que no hay posibilidad de que $f=6$ porque $f(a,b,c)\ge f(\frac{k}{N}, \frac{l}{N}, -\frac{k+l}{N})-\frac{1}{N}\frac{9}{2\sqrt{2}}(|a-\frac{k}{N}|+|b-\frac{l}{N}|+|c-\frac{-k-l}{N}|)>6$

Si la corriente $N$ no basta con observar que $f(\frac{k}{N}, \frac{l}{N}, -\frac{k+l}{N})>6+\frac{3\cdot 9}{2\sqrt{2}N}$ , entonces hay que hacer un cálculo de fuerza bruta con, digamos $N'=2N$ Esto nos llevará al éxito muy pronto, porque $f''$ es pequeño. Sospecho que ese cálculo puede limitarse a valores <100, si se obtienen buenas estimaciones para $R$ .