¿Existe un primo que es sólo dígitos consecutivos a partir de 1?

Question

Este es un problema que se me ocurrió el otro día, y no tienen absolutamente ninguna idea de cómo resolver. El problema es: ¿existe un número en el conjunto $K$ que es el prime, donde $K$ se define como el conjunto de todos los números que siguen este patrón: $$1$$ $$123$$ $$12345$$ $$123456789$$ $$12345678901$$ $$1234567890123$$ $$ ... $$

He dejado fuera los números que terminan en dígitos como $1234$ porque obviamente no prime, aunque todavía son miembros del conjunto.

En WolframAlpha he comprobado hasta $1234567890123456789012345678901234567890123456789$, pero aún se encuentra $0$ números primos.

Mi intuición me dice que cree que no es tan importante, pero me resisto a creer que, dado que no tengo ninguna prueba formal.

Para aquellos de ustedes que quieren específicos, el conjunto de $K$ está definido de tal forma que:

$$K_n = \sum_{i=1}^{n}{10^{n-i}D(n)}$$ dado que el $D(x)$ es el último dígito decimal de $x$, o, equivalentemente, el resto de $x/10$, y si aún tienen ganas de tener una fórmula matemática, tome este: $D(x)=x-10\lfloor{\frac{x}{10}}\rfloor$

ACTUALIZACIÓN: RESUELTO (por agotamiento):

Más corto que pude encontrar:

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

Answer 1

El poder de la fuerza bruta: escribí un rápido programa de python, y

1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567

es un primer basado en el de Miller-Rabin prueba y de curva elíptica de factorización.

Código si desea verificar:

import miller_rabin

digit = 1
number = 1234567890
while True:
    number = int(str(number)+str(digit))
    if str(number)[-1] not in (0, 2, 4, 5, 6, 8):
        if miller_rabin.is_probable_prime(number):
            print(number)
            break

    digit = (digit + 1)%10

ASKASK ha demostrado una solución más corto que por alguna razón mi miller-rabin test no captura:

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

Answer 2

Si PARI/gp es para creerlo entonces K_n es primo para n = 171, 277, 367, 561 y 567.