Orden del grupo de cubos de Rubik

Question

Asociado al cubo de Rubik hay un grupo como el descrito en este Artículo de Wikipedia : $G = \langle F, B, U, L, D, R\rangle$ . Por ejemplo, el elemento $F$ corresponde a girar la cara frontal en el sentido de las agujas del reloj en $90$ grados.

Según el artículo el orden del grupo es: $2^{27} 3^{14} 5^3 7^2 11$ .

He encontrado varios sitios (por ejemplo aquí ) donde este orden se ha encontrado simplemente contando varias formas de organizar las aristas y demás. ¿Existe alguna forma de calcular el orden apelando a herramientas más "teóricas de grupo"?

Answer 1

La mayoría de las explicaciones sobre el orden del grupo cúbico no utilizan una formulación teórica de grupos porque se considera que es más fácil para entenderlo en términos más concretos, dado que el cubo es un objeto físico.

Pero si usted quiere a, podemos ciertamente formular el mismo cálculo en un lenguaje más abstracto de teoría de grupos.

En ese caso, podríamos empezar por definir $G$ para ser un determinado subgrupo del grupo $S_{54}$ de permutaciones de todas las pegatinas de color, dadas por sus seis generadores.

$G$ actúa sobre los 20 cubos móviles, por lo que hay un homomorfismo $G\to S_{20}$ . Su núcleo es un grupo de $H$ operaciones que giran y voltean cubos en su lugar, y el cociente es el grupo de permutaciones legales de cubos. Para contar el orden $G$ mismo multiplicamos el orden del núcleo con el orden del cociente.

Le site cociente como subgrupo de $S_{20}$ resulta ser $A_{20}\cap(S_{12}\times S_{8})$ que podemos demostrar observando que cada uno de los 6 generadores está en este subgrupo, y encontrando un conjunto de generadores para $A_{20}\cap(S_{12}\times S_{8})$ que pueden realizarse como operaciones concretas del cubo.

Le site kernel $H$ (el grupo de giros y vueltas que no permutan los cubos) es un subgrupo de $G$ pero es claramente abeliano e isomorfo a un subgrupo de $(C_2)^{12}\oplus(C_3)^8$ y así lo veré en lo sucesivo. $H$ contiene cada una de sus proyecciones a $(C_2)^{12}$ y $(C_3)^{8}$ -- a saber, son $\{x^3\mid x\in H\}$ y $\{x^4\mid x\in H\}$ respectivamente (esto se puede generalizar a cualquier subgrupo de una suma directa de grupos abelianos de órdenes coprimos) -- y es por tanto su suma directa, y su pedir es el producto de los órdenes de los componentes.

Consideremos la intersección con el grupo de giro de la esquina $(C_3)^8$ . Podemos contarlo viéndolo como un subespacio de $(\mathbb F_3)^8$ y aplicando el álgebra lineal (y es un subespacio: multiplicando por un escalar de $\mathbb F_3$ sólo corresponde a la iteración de la operación). Es fácil demostrar que tiene dimensión $\ge 7$ , mostrando 7 elementos linealmente independientes, es decir, combinaciones que giran la esquina de la FRU junto con cada una de las otras 7. Así que si sólo podemos demostrar que tiene dimensión $<8$ se desprenderá que ella y tiene $3^7$ elementos.

Para mostrarlo, asigne una orientación canónica a cada cubo en cada ubicación, como se describe en esta respuesta . Cada configuración del cubo completo describe ahora un elemento de $(\mathbb F_3)^8$ con componentes dados por la forma en que el cubo que se encuentra en una posición determinada se tuerce con respecto a su orientación canónica. El conjunto $G$ entonces actúa sobre $(\mathbb F_3)^8$ y cada acción preserva el hiperplano $x_1+x_2+\cdots+x_8=0$ (que se puede comprobar para cada uno de los seis generadores). El subespacio de giro de esquina está contenido en la órbita de $(0,0,\ldots,0)$ que está contenido en el hiperplano, y por tanto no puede ser todo $(\mathbb F_3)^8$ .

El manejo del grupo de volteo de bordes es el mismo, mutatis mutandis.

---

¿Es todo esto más esclarecedor que la forma habitual más concreta de contar? Lo dudo.

Answer 2

Por el mero hecho de contando el número de puestos, no veo por qué un método teórico de grupo sería más eficiente que el enfoque convencional.

Sin embargo, si está interesado en conocer qué esas posiciones "parecen", entonces quizás un enfoque teórico de grupo pueda darle los detalles que está buscando.

---

Una cosa que me viene a la mente es una investigación que hice con Bruce Norskog sobre el número de la última capa OLL casos para el cubo nxnxn. Utilizando el método Fridrich (aristas de la primera capa, dos primeras capas, orientación de la última capa y permutación de la última capa), hay 57 casos de 3x3x3 para orientar la última capa (haciendo que toda la capa final sea amarilla, pero no necesariamente resolviendo el cubo). Quería saber cuántos casos de este tipo hay en general para el cubo nxnxn.

Bruce ideó un método para calcular el número de casos OLL de la última capa para el cubo nxnxn mediante calcular los casos brutos y asignar una función vectorial para describir las relaciones . I utilizó las matemáticas para encontrar una fórmula cerrada de su algoritmo . ( Este es una versión alternativa de mi fórmula, que puede ver en Wolfram Alpha .)

---

Como otro ejemplo de última capa del cubo nxnxn que ilustra cómo podemos visualizar lo que los casos son en lugar de contar sólo su número, he calculado el número de 3 ciclos distintos de bordes de las alas por conjunto (órbita) de aristas del ala en la última capa del cubo nxnxn. 3 ciclos . Hice un seguimiento y calculé el número de 4 ciclos y 2 2 ciclos de los bordes del ala. (ACTUALIZACIÓN: En 2018, publiqué dos PDF en línea que contienen algoritmos para resolver todos 2 casos de última capa de 2 ciclos y todos Casos de última capa de 4 ciclos .)

---

Ahora, sé que estás hablando específicamente de calcular todos los estados posibles de todo el cubo de 3x3x3, y por lo tanto ahora paso a eso.

Independientemente del método que utilices para calcular el número de posiciones, debes tener en cuenta las "leyes del cubo" de permutación y orientación. Por lo tanto, todas las explicaciones que has visto que mencionan que sólo hay 3^7 orientaciones de esquinas, 2^11 orientaciones de aristas medias, y que sólo son posibles 1/2 de las permutaciones de esquinas o de aristas medias (dependiendo de la perspectiva que elijas), no hay "métodos teóricos de grupo" para eludir esto. Estas son las leyes de la "aritmética" que todo estudio teórico del cubo asume como ciertas.

---

Dado que la teoría de grupos se centra en aprovechar la simetría, creo que si alguien (tal vez tú) da con un enfoque alternativo para calcular el número de posiciones del cubo 3x3x3,

1. Debe asumir que las leyes del cubo son ciertas.
2. Lo más probable es que se trate de calcular mediante programación los casos "brutos" (calculando primero todos los casos brutos posibles y luego utilizando la simetría para minimizar el número de casos brutos) para cada combinación posible de cubie ranuras (por ejemplo, el cálculo del número de 3 ciclos, 2 2 ciclos y 4 ciclos) y las orientaciones de las ranuras del cubo (por ejemplo, el cálculo del número de OLL), donde el número de permutaciones de cada tipo de ciclo se tienen en cuenta para cada combinación "estructural" de ranuras y orientaciones de ranuras.

Como he dicho al principio de esta respuesta, calcular simplemente cuántas posiciones hay es una cosa, pero describir cuáles son es un tema totalmente diferente.

---

Tal vez lo que buscas es un estudio sobre la teoría de la representación del cubo.

Recientemente he demostrado (pero no he publicado o mostrado mi prueba públicamente) que todos los elementos del subgrupo conmutador del cubo nxnxn tiene una longitud conmutadora de uno. (Esto significa que existe una única secuencia de movimientos del conmutador que genera/soluciona exactamente la mitad de las 43 quintillones de posiciones del cubo 3x3x3, por ejemplo. Este es un ejemplo de solución de una posición aleatoria de 3x3x3 , y aquí está un ejemplo de solución de una posición aleatoria de 4x4x4 .)

Mi artículo muestra que hay 1002 posiciones de esquina que pueden representar todas las (8!/2)(3^7) posiciones de esquina de permutación par y 3351 posiciones de arista media pueden representar todas las (12!/2)(2^11) posiciones de arista media de permutación par. Por lo tanto, en esencia, el grupo de cubos de Rubik de 3x3x3 tiene "sólo" unas 2(1002)(3351) representaciones diferentes, cuando se desglosan y se explota la simetría al máximo.

La razón por la que menciono esto es porque tuve que construir este conjunto de 1002 posiciones de esquina y este conjunto de 3351 posiciones de borde medio de tener en cuenta la simetría. También puedo calcular simplemente cuántas posiciones representa cada uno de los casos de esquina, por ejemplo. Si las sumo todas, obtengo (8!/2)(3^7).

---

Si algo de lo que he mencionado en esta respuesta se parece a lo que está buscando, por favor, coméntelo y hágamelo saber.