Mostrar $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}+i)$ utilizando la órbita de Galois de $\sqrt[4]{2} + i$

Question

El siguiente es un problema de Álgebra de I. Martin Isaac. Sea $E=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}+i)$ . Estoy tratando de mostrar $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)=E$ con la siguiente pista:

Encuentra al menos cinco elementos diferentes en la órbita de $i+\sqrt[4]{2}$ en $\text{Gal}(E/\mathbb{Q})$ .

He resuelto el problema de la manera habitual, es decir, mostrando $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}+i)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ y $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}+i)$ con algunos cálculos.

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cuál es el marco teórico en el que se basa la insinuación de Isaacs?

Answer 1

Dejemos que $K/k$ sea una extensión de Galois con grupo $G$ . Sea $\alpha$ sea un elemento de $K$ con un polinomio mínimo $f$ en $k$ . Entonces $G$ actúa transitivamente sobre el conjunto de raíces de $f$ en $K$ que tienen todos multiplicidad $1$ porque nuestra extensión es separable. Por lo tanto, $$ [k(\alpha) : k] = \deg f = \#(G\alpha) \quad \text{divides} \quad \#(G) = [K : k]. $$ Por cierto, ¿tiene claro cómo se pueden encontrar cinco conjugados en este caso?

Answer 2

Es fácil ver que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2} + i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$ . Además, $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$ tiene grado $8$ en $\mathbb{Q}$ . Así que el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2} + i)$ en $\mathbb{Q}$ debe ser un divisor de $8$ . Si puedes demostrar que tiene grado al menos $5$ , sabes que tiene que ser $8$ y así los campos son iguales.