¿Cómo puede una "región infinita" tener sólo un área finita? Por la misma razón que una "suma infinita" puede seguir sumando un número finito: aunque cada uno de $\frac{1}{2^n}$ es positivo y añadimos un infinito número de ellos cuando hacemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}+\cdots$$ Sin embargo, esto sigue sumando un finito valor, a saber $1$ .
Pero su confusión es exactamente lo que hizo que las paradojas de Zenón paradojas : contradice la expectativa intuitiva (al menos hasta que te acostumbras tanto a este tipo de cosas que tu intuición empieza a apuntar en la dirección "correcta").
¿Por qué se suma sólo a $1$ ¿aunque tengas un número infinito de números positivos que se suman? Porque las cosas que estás sumando "se vuelven muy pequeñas lo suficientemente rápido" como para no ser gran cosa, aunque haya infinitas.
O bien: imagina que tomas una secuencia de rectángulos que se hacen más finos pero más altos. Si los haces más altos en la misma proporción en que los haces más finos, el área total seguirá siendo la misma: si empiezas con un $1\times 1$ rectángulo, con área uno, y en el siguiente paso tienes un rectángulo de la mitad de ancho pero del doble de alto, $\frac{1}{2}\times 2$ entonces la zona sigue siendo $1$ y, a continuación, un rectángulo de la mitad de ancho pero del doble de alto que este último, $\frac{1}{4}\times 4$ entonces la zona sigue siendo $1$ etc. Pero, ¿y si los haces más finos mucho más rápido que hacerlos más altos? Si reduces la anchura a la mitad, pero sólo añades $25$ ¿a la altura? Se empieza con un $1\times 1$ rectángulo; luego un $\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}$ que sólo tiene una superficie de $\frac{5}{8}$ Entonces $\frac{1}{4}\times 1.5625$ con una superficie de sólo $0.390625$ etc. Si puedes hacerlos más finos mucho más rápido que hacerlos más altos, puede asegurar que el superficie total no se hace demasiado grande (es decir, no es infinito, aunque tengas un número infinito de rectángulos, cada uno con área positiva).
Lo mismo ocurre con las porciones del gráfico bajo, digamos, $\frac{1}{\sqrt{x}}$ cerca de $0$ a la derecha. Las integrales $$\int_{1/2}^1 \frac{dx}{\sqrt{x}},\quad \int_{1/4}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{x}},\quad \int_{1/8}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{x}},\quad\ldots, \int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}\frac{dx}{\sqrt{x}},\ldots$$ son todas positivas, y si las "sumas" todas, obtendrás $$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$$ Entonces, ¿cómo puede ser finita esta integral, si estás sumando un número infinito de números positivos? Porque las integrales se hacen lo suficientemente pequeñas como para que no sumen mucho: $$\begin{align*} \int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}\frac{dx}{\sqrt{x}} &= \int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}x^{-1/2}\,dx\\ &= 2x^{1/2}\Biggm|_{1/2^{n+1}}^{1/2^n} = 2\sqrt{\frac{1}{2^{n}}} - 2\sqrt{\frac{1}{2^{n+1}}}\\ &= \frac{2}{2^{n/2}} - \frac{2}{2^{(n+1)/2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2^{n-1}}}. \end{align*}$$ Como $n\to\infty$ Pero la contribución de estas porciones es tan pequeña, tan rápida, que incluso tomando infinitamente muchas de ellas no se suma mucho. Así que la zona es finito, aunque la región sea infinita. Intuitivamente, estás añadiendo rectángulos más finos pero más altos. Pero los rectángulos se hacen más finos mucho más rápido de lo que se drogan, por lo que el total contribución de la zona está disminuyendo muy rápidamente.
(El hecho de que una forma infinita pueda tener un área finita no es tan sorprendente cuando se piensa en ello: un línea es una forma infinita, pero tiene cero zona, después de todo...)
El caso de $$\int_0^3\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$$ es prácticamente lo mismo. A medida que te acercas más y más a $3$ desde la izquierda, los rectángulos finos de área que estás añadiendo no se están haciendo lo suficientemente altos como para contrarrestar la rapidez con la que se están haciendo más finos, por lo que el área total no suma mucho (de hecho, está limitada por encima, por lo que la integral es finita).
