Estoy tratando de generalizar, para que los valores integrales de $d$ ,
$\mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \{ a + b\sqrt{d} \vert a,b\in\mathbb{Z}\}$ es un dominio euclidiano?
Me interesan especialmente los valores integrales positivos de $d$ .
Respuestas
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Resulta que, en realidad, es una cuestión muy poco trivial. Supongo que sabes que todo dominio euclidiano es un UFD. Pero también es útil recordar la definición de un dominio integralmente cerrado . Es decir, un dominio integral $R$ con campo de fracciones $K$ se considera integralmente cerrada si para cualquier polinomio mónico $p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0\in R[x]$ , si $p$ tiene una raíz $\alpha\in K$ entonces $\alpha\in R$ . Se puede demostrar que cualquier UFD es un dominio integralmente cerrado, y que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ nunca se cerrará integralmente para $d$ no libre de cuadrados.
En segundo lugar, si $d$ es libre de cuadrados, entonces como el no ser integralmente cerrado es un obstáculo para ser un UFD (que es un necesario para ser un ED), a menudo extenderemos $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ en el subring de su campo de fracciones $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ que contiene precisamente las soluciones de los polinomios mónicos en $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ que es de hecho un anillo, y llamaremos a este anillo $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ . Es un teorema de la teoría algebraica de los números que para los enteros libres de cuadrados y no nulos $d$ , $$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})} = \begin{cases} \mathbb{Z}[\sqrt{d}] & \mathrm{if\ } d\equiv 2,3\mod 4 \\ \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right] & \mathrm{if\ } d\equiv 1\mod 4 \end{cases}$$ que nos dice que para $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ para ser un dominio euclidiano, debemos tener que $d\equiv 2,3\mod 4$ .
Aquí es donde llegamos a nuestra siguiente complicación: la teoría algebraica de números nos proporciona una norma natural $N(a+b\sqrt{d}) = a^2 - db^2$ que es multiplicativo y toma elementos de $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ a los enteros, como se puede comprobar. Un anillo que es euclidiano bajo esta norma se dice que es norma euclidiana . Existen anillos que son euclidianos pero no normativos, como por ejemplo $$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{69}}{2}\right]$$ pero, por lo que sé, estos tipos de anillos no se comprenden del todo. Sin embargo, sí entendemos completamente qué anillos cuadráticos son norma-euclidianos. De hecho $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ es norma euclidiana si y sólo si $$d = -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, \mathrm{\ or\ }73$$ y así, $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ es norma euclidiana si y sólo si $$d = -2, -1, 2, 3, 6, 7, 11, \mathrm{\ or\ }19.$$ En realidad, no sé si hay algún dominio euclidiano que no sea norma-euclidiano de la forma $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ . Mi sospecha es que no los hay, aunque realmente está más allá de mis posibilidades demostrarlo.
Evan Trimboli
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Sólo quiero completar un detalle que se insinuó en la respuesta de Monstrous Moonshine, que es demasiado larga para un comentario.
Si $d \equiv 1 \pmod 4$ entonces $\mathbb Z[\sqrt d]$ no es ciertamente un dominio euclidiano. Basta con intentar $\gcd(2, 1 + \sqrt d)$ . Es evidente que ambos números son de norma par, y el segundo tiene una norma con valor absoluto mayor que el primero, lo que sugiere que el primero debería ser un divisor del segundo.
Pero $$\frac{1 + \sqrt d}{2} \not\in \mathbb Z[\sqrt d].$$ Peor, $1 + \sqrt d$ es probablemente irreducible, lo que significaría que este dominio no tiene una factorización única.
Sin embargo, $$N\left(\frac{1 + \sqrt d}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt d}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{d}{4} = \frac{1 - d}{4},$$ que es un número entero porque $d \equiv 1 \pmod 4$ por lo que este número que no parece un entero algebraico es de hecho un entero algebraico.
Así que $\mathbb Z[\sqrt d]$ no es un dominio "completo" de enteros algebraicos. "Carece de cierre integral", es el término técnico, creo. Si ampliamos nuestra visión a este dominio "más grande", que podemos notar $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}$ , entonces para resolver $\gcd(2, 1 + \sqrt d)$ con $1 + \sqrt d = 2q + r$ para que $-4 < N(r) < 4$ , simplemente establecemos $$q = \frac{1 + \sqrt d}{2}$$ y $r = 0$ . Por supuesto, esto no garantiza que cada par de números en $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}$ puede tener su GCD resuelto por el algoritmo euclidiano con alguna función euclidiana, por no hablar de la función norma específicamente.
Un ejemplo concreto: $\mathbb Z[\sqrt{21}]$ . Entonces 2 tiene una norma de 4, y $1 + \sqrt{21}$ tiene una norma de $-20$ que en valor absoluto es mayor que 4. Vemos que $$\frac{1 + \sqrt{21}}{2}$$ es un entero algebraico que tiene un polinomio mínimo de $x^2 - x - 5$ y una norma de $-5$ y eso es claramente un divisor de $-20$ .
