Semejante a medidor de campo, ¿por qué GR ' s lagrangiana no $R_{abcd}R^{abcd}$? ¿Lo que ' s el significado matemático o físico de $R_{abcd}R^{abcd}$?

Question

Para la teoría de campo de gauge, el Lagrangiano del medidor de campo es $$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}\mathrm{tr}(\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu})=-\frac{1}{8}F_{a\ \mu\nu}F^{a \ \mu\nu}$$ La intensidad de campo $F^a_{\phantom\a \mu\nu}$ donde $\mu\nu$ es el índice y coordinar $a$ es la fibra de índice.

De manera análoga a la del medidor de campo, $R_{abcd}$ donde $ab$ es la fibra de índice y $cd$ es la coordinar índice. Y similar a la de Lagrange de medidor de campo, el Lagrangiano de gravedad debe ser $R_{abcd}R^{abcd}$. Mientras que es en realidad la acción de Einstein-Hilbert $R$. Mis preguntas son:

1. ¿Qué es la matemática o de significado físico de $R_{abcd}R^{abcd}$?
2. ¿Por qué la fuerza de la gravedad de Lagrange no es $R_{abcd}R^{abcd}$? Si algunos de los campos de Lagrange es $R_{abcd}R^{abcd}$, lo que las propiedades físicas de este campo?

Answer 1

El Lagrangiano para el GR es

$$ L \propto \int R \sqrt {g} \, d^4 x $$

donde $R$ es el escalar de Ricci

$$ R = R^\mu_\mu = R^{\mu \nu}_{\mu \nu} $$

Así que, este es un escalar, la cual está relacionada linealmente a todos los componentes del tensor de Riemann, y es un de segundo orden diferencial de la métrica $g$ de la forma

$$ R \sim g \partial^2 g + (\partial g)^2 $$ Esto es típico de un Lagrangiano. Su propuesta consiste en la plaza del tensor de Riemann, y por lo tanto es una no lineal de segundo orden diferencial de $g$ con términos como"$(\partial g)^4$$(\partial^2 g)^2$.

La respuesta concreta es que el Lagrangiano se muestra arriba conduce a las ecuaciones de Einstein, y su sugerencia no.