Encontrar los coeficientes de conexión de Christoffel de 3 esferas utilizando el cálculo variacional, problema de Sean Carrol

Question

Tengo una 3-esfera con coordenadas $x^{\mu} = (\psi,\theta,\phi)$ y la siguiente métrica:

\begin{equation} ds^2 = d\psi^2 + \text{sin}^2\psi(d\theta^2 + \text{sin}^2\theta d\phi^2) \end{equation}

Sé cómo obtener los coeficientes de conexión utilizando las derivadas métricas, etc., pero estoy buscando una forma de hacerlo mediante el cálculo de variaciones. Un problema en Sean Carroll (Ejercicios 3.11 pregunta 8 a) Introducción a la Relatividad General sugería variar la siguiente integral para encontrar los coeficientes de conexión:

\begin{equation} I = \frac{1}{2}\int g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{v}}{d\tau} d\tau \end{equation}

Así que tengo un lagrangiano:

\begin{equation} \mathcal{L} = \dot{\psi}^2 + (\text{sin}^2\psi) \dot{\theta}^2 + (\text{sin}^2\psi)(\text{sin}^2\theta)\dot{\phi}^2 \end{equation}

Que pongo en la ecuación de Euler-Lagrange: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} = 0 \end{equation}

¿Estoy en el camino correcto? ¿Cuál es la estrategia para relacionar esto con los símbolos de conexión? La bibliografía no es demasiado clara y me cuesta hacer la conexión.

Answer 1

Te mostraré cómo hacer esto para el plano 2 en coordenadas polares. Una vez que resuelvas esto, debería ser factible resolverlo en tu caso.

Se empieza con la métrica

$$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2}$$

Como las geodésicas de esta métrica (es decir, las líneas rectas) minimizan la distancia, sabemos que las geodésicas son un extremo de:

$$I = \frac{1}{2}\int ds \left({\dot r}^{2} + r^{2}{\dot \theta}^{2}\right)$$

Tomamos la variación de esto, y obtenemos

$$\delta I = \int ds \left({\dot r}\delta {\dot r} + r{\dot \theta}^{2} \delta r + r^{2}{\dot \theta} \delta{\dot \theta}\right)$$

Según nuestro procedimiento habitual, queremos variar con respecto a las variables originales y no a su derivada temporal. También despreciamos la variación en la frontera, y suponemos que $\delta {\dot x} = \frac{d}{ds}\delta x$ . Entonces, integramos por partes, y obtenemos:

$$\delta I = \int ds\left(\left(-{\ddot r} + r{\dot \theta}^{2}\right)\delta r + \left(-{\ddot\theta}r^{2} - 2r{\dot r}{\dot\theta}\right)\delta \theta\right)$$

Como la geodésica debe ser cero independientemente de las variaciones $\delta r$ et $\delta \theta$ sabemos que los términos dentro de los paréntesis deben ser independientemente cero, y obtenemos:

$$\begin{align} 0 &= {\ddot r} - r{\dot \theta}^{2}\\ 0 &= {\ddot \theta} + \frac{1}{r}\left({\dot r}{\dot \theta} + {\dot \theta}{\dot r}\right) \end{align}$$

Ahora, tenemos esto como un sistema de ecuaciones, y recordamos que la ecuación geodésica, en términos de símbolos de Christoffel, es $0={\ddot x}^{a} + \Gamma_{bc}{}^{a}{\dot x}^{b}{\dot x}^{c}$ y concluimos que $\Gamma_{\theta \theta}{}^{r} = -r$ , $\Gamma_{r\theta}{}^{\theta} = \Gamma_{\theta r}{}^{\theta} = \frac{1}{r}$ y que todos los demás son cero.

Answer 2

La estrategia consiste en recordar el geodésico ecuación, $$ \frac{d^2x^\lambda}{dt^2}+\Gamma^\lambda_{\,\mu\nu}\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx^\nu}{dt}=0\tag{1} $$

A partir de su lagrangiano, terminará con ecuaciones de la forma \begin{align} \ddot{\psi}&=f(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\theta}&=g(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \ddot{\phi}&=h(\psi,\,\theta,\,\phi,\,\dot{\psi},\,\dot{\theta}\,\dot{\phi})\\ \end{align} con el que se relaciona (1) índice por índice.