Búsqueda inversa en anillo no conmutativo

Question

Sea $a,b,c,x$ elementos de un anillo no es comutativo unital. $c$ Es una inversa de $1-ab$: $$ c(1-ab) = 1$ $

¿Cómo puedo encontrar una inversa $1-ba$? Lo he intentado:

Indica que el desconocido $x$. Entonces $x (1-ba) = 1 = x - xba$. He intentado reemplazar $1$ $c(1-ab)$ pero no ayuda porque no puedo resolver $x$. También trató de restar el $x (1-ba) $ $ c(1-ab)$ pero no pudo resolver $x$ bien. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esta inversa se puede derivar hábilmente a través geométrica de alimentación de la serie - ver el extracto a continuación de una famosa expositiva artículo de Paul Halmos. Cuando yo era estudiante, yo estaba interesado en descubrir por qué este derivación de las obras. Resulta que uno puede dar un buen (y riguroso) explicaciones. Se puede demostrar que todos esos racional identidades son, esencialmente, las consecuencias de la geométrica de alimentación de la serie de expansiones. Para referencias ver este Mathoverflow pregunta. Véase también Paul Cohn, Un comentario sobre la cuasi-inversa de un producto, Illinois J. de Matemáticas, 2003. Él escribió este artículo en respuesta a mi pregunta sobre su punto de vista sobre este tema.

---

Serie geométrica. En una no necesariamente conmutativo anillo con unidad (por ejemplo, en el conjunto de todos los $3 \times 3$ matrices cuadradas con el real las entradas), si $\,1 - ab\,$ es invertible, entonces a $\,1 - ba\,$ es invertible. Sin embargo plausible esto puede parecer, pocas personas pueden ver su camino para una prueba de inmediato; la más reveladora enfoque pertenece a un distinto y distante del sujeto.

Cada estudiante sabe que $\,1 - x^2 = (1 + x) (1 - x),\,$ y algunos incluso saben que $\,1 - x^3 =(1+x +x^2) (1 - x).\,$ La generalización $\,1 - x^{n+1} = (1 + x + \cdots + x^n) (1 - x)\,$ no está muy lejos. Dividir por $\,1 - x\,$ y deje $\,n\,$ tienden a infinito; si $\,|x| < 1,\,$ $\,x^{n+1}$ tiende a $\,0,\,$, y la conclusión es que $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots.\,$ Este simple clásico argumento comienza con fácil álgebra, pero la carne de la cuestión es el análisis de: los números, absoluta los valores, las desigualdades, y la convergencia son necesarias, no sólo para la prueba, pero incluso para la final de la ecuación de hacer sentido.

En la general anillo de la teoría de la pregunta no hay números, no hay valores absolutos, sin desigualdades, y sin límites - estos conceptos son totalmente inapropiado y no puede ser traída a colación. Sin embargo, un impresionante sonido clásica frase, "el principio de permanencia de funcional forma", viene al rescate y los rendimientos de una forma analítica inspirado prueba en pura álgebra. La idea es fingir que $\,\frac{1}{1 - ba}\,$ se puede expandir en una serie geométrica (que es una tontería), por lo que $\,(1 - ba)^{-1} = 1 + ba + baba + bababa + \cdots\,$ De ello se deduce (realmente no, pero es divertido para mantener fingir) que $\,(1 - ba)^{-1} = 1 + b (1 + ab + abab + ababab + \cdots) a.\,$ y, después de una aplicación más de la serie geométrica la pretensión, esto produce $\,(1 -ba)^{-1} = 1 + b (1 - ab)^{-1} a.\,$

Ahora, dejar de fingir y comprobar que, a pesar de su ilegal la derivación, la fórmula funciona. Si, se que es, $\, c = (1 - ab)^{-1},\,$ de modo que $\,(1 - ab)c = c(1 - ab) = 1,\,$ $\,1 + bca\,$ es la inversa de la de $\,1 - ba.\,$ una Vez que la declaración se pone de esta manera, su la prueba se convierte en una cuestión de (perfectamente legal) mecánica la computación.

¿Por qué hace todo este trabajo? Lo que pasa aquí? Por qué parece que la fórmula para la suma de un infinito serie geométrica es cierto incluso para un resumen de anillo en el que la convergencia no tiene sentido? Lo general la verdad no la fórmula de encarnar? No sé la respuesta, pero me tenga en cuenta que la fórmula es aplicable en otras situaciones donde no debía, y me pregunto si merece para ser llamado uno de los (computacional) elementos de las matemáticas. -- P. R. Halmos [1]

[1] Halmos, P. R. $ $ ¿las matemáticas tienen elementos?
De matemáticas. Intelligencer 3 (1980/81), no. 4, 147-153

Answer 2

Suponiendo que integridad w.r.t. $(a)$ o $(b)$ o simplemente como un heurístico:

$x = (1 - ba)^{-1} = 1 + ba + baba + \cdots = 1 + b(1 + ab + abab + \cdots)a = 1 + bca$

Answer 3

Vamos a pensar en términos de símbolos, ya que queremos que $x$ a tener un "simple".

Supongamos que $x(1-ba)=1$. Si $x$ podría ser escrito sólo con símbolos $a,b,c$, el resultado $x(1-ba)$ también sería escrito en símbolos $a,b,c$, por lo que es natural que se busque a $x$ de la forma $x=1+y$. También, $y$ deben ser elegidos de forma que se "cancela" los símbolos $ba$.

Observe que la fórmula $c(1-ab)$ puede ser reescrita como $c-cab=1$, $cab=c-1$. Con la igualdad, podemos obtener un término con $b$ y volver a escribir como una diferencia de términos sin $b$.

Observe que $(1+y)(1-ba)=(1-ba)+y+yba$. Con el fin de reescribir $yba$ sin $b$, podemos buscar $y$ de la forma $y=zca$ algunos $z$, lo $yba=z(cba)a=z(c-1)a$. Por último, queremos que la siguiente se tiene: $$(1+zca)(1-ba)=1$$ es decir, $1=1-ba+zca-z(cab)a=1-ba+zca-z(c-1)a=1-ba+zca-zca+za=1-ba+za$, el cual es válido por $z=b$.

Por lo tanto, el candidato natural para la inversa de a$1-ba$$x=1+bca$, y se puede mostrar fácilmente que este es, de hecho, su inversa.