En grupo finito con grupo de automorfismos internos

Question

Dejemos que $G$ sea un finito $2$ -que es tal que $\mid Inn(G)\mid=4$ y $\Phi(G)\subsetneq Z(G)$ donde $\Phi(G)$ es un subgrupo de Frattini. Entonces demuestre que existe un $\alpha\in Aut(G)$ tal que $\alpha(g)\neq g$ para algunos $g\in Z(G)$ .

Gracias

Answer 1

Permítanme dar algunas explicaciones sobre la respuesta de Derek: Escribe $F=\Phi(G)$ . Considere $\bar{G}=G/F$ . Entonces $\bar{Z}=<\bar{x}_1, \cdots, \bar{x}_k>$ para algunos $x_1, \cdots, x_k\in Z(G) - F$ . Entonces $Z=Z(G)=<x_1,\cdots, x_k, F>$ . Definamos ahora un homomorfismo inducido por $\alpha_1: x_1\rightarrow x_1h, \cdots, x_k\rightarrow x_k, f\rightarrow f$ para $f\in F$ , donde $h\in F$ tal que $|h|=2$ . Cleary $\alpha_1$ es un isomorfismo para $<\alpha_1({x_1}), \cdots, \alpha_1(x_k), \alpha_1(F)>=Z$ . Ahora dejemos que $\bar{G}=<\bar{x}_1, \cdots, \bar{x}_k> \times <\bar{y}_1, \cdots>$ . Ampliar $\alpha_1$ a $\alpha$ por $y_1\rightarrow y_1, \cdots $ podemos obtener el isomorfismo descrito por Derek.