Encontrar el valor de una función con integrales definidas

Question

Estoy tratando de entender un papel de Maynard Smith (1974), que conecta la biología, la teoría de juegos. No quiero abrumar con todo el material inútil, pero tengo este integrales definidas:

$$E(m)=\int_0^m (v-x)p(x) dx - \int_m^\infty mp(x) dx \tag{1}$$

Queremos elegir a $p(x)$ tal que $E(m)$ es la misma constante de $C$ todos los $m$.

Ahora voy a copiar exactamente lo que él (Maynard Smith) dice:

Para encontrar $p(x)$ ponemos $E(m) = E(m+\Delta m)$, por lo que

$$E(m)=\int_0^m (v-x)p(x) dx -\int_m^\infty mp(x) dx=\int_0^{m+\Delta m}(v-x)p(x)dx - \int_{m+\Delta m}^\infty( m+\Delta m) p(x) dx \tag{2}$$

Después de un poco de manipulación, recordando que $E(m)=\int_0^\infty p(x) dx =1$ esto da

$$ vp(m)= 1-\int_0^m p(x) dx \tag{3}$$

La ecuación de $(3)$ está satisfecho por la función $$ p(x) = (1/v ) e^{-x/v} \tag{4}$$

que es el equilibrio de la estrategia que estamos buscando.

Puesto que yo no soy un matemático (pero tengo algunos conocimientos de Cálculo y Probabilidad) estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de este. No tengo idea de cómo podemos ir de $(2)$ $(3)$e de$(3)$$(4)$. Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

La cosa más fácil de hacer es aplicar la condición

$$\int_0^{\infty} dx \: p(x) = 1$$

al principio. Esto significa reescribir $E(m)$

$$\begin{align}E(m) &= \int_0^m dx \: (v-x) p(x) - m + m \int_0^m dx \: p(x)\\ &= (v+m) \int_0^m dx \: p(x) - \int_0^m dx \: x p(x) - m\end{align}$$

Ahora escribir

$$\begin{align}\\ E(m+dm) &= (v+m+dm) \int_0^{m+dm} dx \:p(x) - \int_0^{m+dm} dx \: x p(x) - m-dm\\ &= (v+m+dm)\left[\int_0^m dx \: p(x) + \underbrace{\int_m^{m+dm} dx \: p(x)}_{p(m) dm} \right]\\ &- \left[\int_0^m dx \: x p(x) + \underbrace{\int_m^{m+dm} dx \: x p(x)}_{m p(m) dm} \right]-m-dm\\ &= (v+m) \int_0^m dx \: p(x) - \int_0^m dx \: x p(x) - m \\ &+\left [\int_0^m dx \: p(x) + (v+m) p(m) -m p(m)-1 \right ] dm \\ &= E(m) + \left [\int_0^m dx \: p(x) + (v+m) p(m) -m p(m)-1 \right ] dm\end{align}$$

La cantidad entre paréntesis es cero debido a que $dm$ es arbitrario:

$$\int_0^m dx \: p(x) + (v+m) p(m) -m p(m)-1=0$$

o

$$v p(m) = 1-\int_0^m dx \: p(x)$$

como se indicó en el paso (3).

Para obtener el paso (4), diferenciar ambos lados con respecto a $m$:

$$v p'(m) = -p(m) \implies p'(m) = -\frac{1}{v} p(m)$$

La solución general de esta ecuación es

$$p(m) = A e^{-m/v}$$

$A=p(0)$ está determinado por la configuración de $m=0$ en la ecuación en el paso (3):

$$0=1-v p(0) \implies p(0)=\frac{1}{v}$$

Por lo tanto

$$p(m) = \frac{1}{v} e^{-m/v}$$

como se indicó en el paso (4).