Convergencia de series

Question

En la universidad, nos introducimos en varios métodos para demostrar que una serie converge. Por ejemplo, la Prueba de Comparación, la Prueba de Relación o la Prueba de Raíz. Sin embargo, no se nos explica cómo calcular el punto de convergencia. La única serie de la que conocemos el punto de convergencia es la serie geométrica.

Creo que es una tarea no trivial en general, pero tiene que haber al menos algún método para calcular el punto de convergencia para series simples, ¿no?

Si pudieras indicarme algunos de estos métodos te lo agradecería mucho.

Gracias de antemano

Answer 1

La respuesta corta es que no hay métodos generales y que usamos lo que está disponible. Lo primero que se puede hacer es aprender el Serie Taylor de funciones comunes; entonces la evaluación de la serie de Taylor en un punto en el que la serie converge a la función corresponde a la evaluación de la función. Por ejemplo, $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$ Por lo tanto $e = \sum \frac{1}{n!}$ . Menos trivialmente, $\ln (1 + x) = \sum \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$ Por lo tanto

$$\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm ....$$

Cuantas más series de Taylor conozca, más series podrá evaluar "explícitamente" en algún sentido.

Más allá de eso, la vida se complica. Dominar el uso de las series de Taylor ya es muy poco trivial -especialmente reconocer cuándo es aplicable el método-, así que preocúpate primero de aprender a hacerlo correctamente.

Answer 2

"Tiene que haber al menos algunos métodos para calcular el punto de convergencia de las series simples, ¿no?"

Si estás seguro de que una determinada secuencia de números converge, tienes que seguir iterando todo manualmente, a menos que se te ocurra un truco inteligente. Te sugiero que estudies cómo Euler demostró que $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ Ello le resultará muy instructivo porque demostrará lo inteligente que hay que ser a veces para resolver este tipo de problemas.

Answer 3

Justo después de la serie geométrica, el método más fácil que conozco para calcular la suma de una serie es la propiedad de derivación término a término de las series de potencias convergentes. No sé si ya lo has tratado en las lecciones, así que intentaré darte una idea de cómo funciona:

Usted sabe que $\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ si $x<1$ ; ahora, verás que puedes derivar una serie como la anterior con respecto a $x$ y se puede hacer término por término de manera que se obtiene (diferenciando ambos lados de la identidad anterior): $\frac{d}{dx}\sum x^n=\sum \frac{d}{dx}x^n=\sum nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ .

Answer 4

Hay algunas series convergentes cuya suma exacta se puede evaluar. Por ejemplo:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n+1)!}.$$

Observando que

$$\dfrac{n}{(n+1)!}=\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}$$

la serie telescopios . Por lo tanto,

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{(n+1)!}=1-\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\dfrac{1}{(n+1)!}=1-0=1.$$

Pero en general es una tarea difícil encontrar la suma exacta, como has dicho.

Añadido: A diferencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$ cuya suma es igual a $\dfrac{\pi ^{2}}{6}$ la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}$ aunque convergente, nadie conoce una forma cerrada en términos de otras constantes matemáticas. Por lo tanto, esta suma es una constante matemática en sí misma.

Añadido 2: Otro ejemplo que utiliza la integración y diferenciación de la serie geométrica $$\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\frac{x}{1-x},\qquad\left\vert x\right\vert <1$$ es

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n+1)e^{n}}=e\left( \log \frac{e-1}{e}+\frac{1% }{e-1}\right) .$$

Añadido 3: De

$$\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\frac{x}{1-x}\qquad\left\vert x\right\vert <1,$$

obtenemos para $\left\vert x\right\vert <1$

$$\int \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}dx=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1}% x^{n+1}=\int \frac{x}{1-x}dx=-x-\log \left\vert 1-x\right\vert .$$

Por lo tanto,

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1}x^{n}=-1-\frac{1}{x}\log \left\vert 1-x\right\vert $$

Ahora, si diferenciamos, tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}x^{n-1}=\frac{1}{x^{2}}\log \left\vert 1-x\right\vert -\frac{1}{x^{2}-x},$$

o de forma equivalente

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}x^{n}=\frac{1}{x}\log \left\vert 1-x\right\vert -\frac{1}{x-1}\qquad\left\vert x\right\vert <1.$$

Finalmente para $x=e^{-1}$ obtenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{(n+1)e^{n}}=e\left( \log \frac{e-1}{e}+\frac{1% }{e-1}\right) .$$