Dibujo $8$ cartas al azar de una baraja sin reemplazo. ¿Cuál es el valor esperado de la suma de las mayores $3$ tarjetas? El as tiene un valor de 1 y la sota, la reina y el rey tienen un valor de $10$ . Puedo generar una respuesta de simulación pero eso es todo. ¿Cómo se puede hacer esto, estoy atascado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para cada uno de los posibles valores de la suma, $S$ de las tres cartas más altas -- enteros en $[6,30]$ -- calcular el número de combinaciones de manos de ocho cartas que darían las tres cartas más altas esa suma.
Para $S=30$ podemos tener entre tres y ocho $10$ s, por lo que los consideramos por separado:
$$P(S=30, 10, 10, 10) = \frac{{16 \choose 3}{36 \choose 5} + {16 \choose 4}{36 \choose 4} + {16 \choose 5}{36 \choose 3} + {16 \choose 6}{36 \choose 2} + {16 \choose 7}{36 \choose 1} + {16 \choose 8}{36 \choose 0}}{{52 \choose 8}}.$$
Para algo más complicado, tendrás que sumar más combinaciones. Para $S=20$ Por ejemplo, hay doce triples posibles para las tres cartas más altas:
$$(7, 7, 6), \\ (8, 8, 4), (8, 7, 5), (8, 6, 6), \\ (9, 9, 2), (9, 8, 3), (9, 7, 4), (9, 6, 5), \\ (10, 8, 2), (10, 7, 3), (10, 6, 4), (10, 5, 5).$$
Calculemos $P(S=20, 9, 8, 3).$ Dibujamos una $9$ : ${4 \choose 1}$ . Dibujamos una $8$ : también ${4 \choose 1}.$ Entonces tiene que haber al menos una $3$ (pero debido a las limitaciones en el número de $2$ s y $3$ s, no puede haber menos de dos):
$$P(S=20, 9, 8, 3) = \frac{{4 \choose 1}{4 \choose 1}\left[{4 \choose 4}{4 \choose 2} + {4 \choose 3}{4 \choose 3} + {4 \choose 2}{4 \choose 4}\right]}{{52 \choose 8}}.$$
(Tenga en cuenta que hay pequeñas sutilezas como el hecho de que $(10, 9, 1)$ no es posible. Si dibujas un $10$ y un $9$ Al menos dos de las seis cartas restantes deben ser algo más alto que un as).
Una vez que se tiene la probabilidad de obtener cada suma individualmente, obtener el valor esperado es fácil. Contar el número de combinaciones de cartas para cada suma es la parte laboriosa.
gar
Puntos
3883
Un poco tarde, pero aquí hay una forma de calcular la respuesta:
Primero podemos escribir el estadístico de orden y luego encontrar la suma por linealidad de la expectativa.
Tras la clasificación, la probabilidad de que el $k^{th}$ posición es $a$ viene dada por (derivada al considerarla como un caso de distribución hipergeométrica): \begin{align*} \mathbb{P}\left(X_{(k)}=a\right) &= \left.\left(\sum_{j=n-k-n_a+1}^{n-k} \; \sum_{i=n-k-j+1}^{n_a} \dbinom{n_{a}}{i}\, \dbinom{(a-1)n_{a-1}}{n-i-j}\, \dbinom{52-n_a-(a-1)n_{a-1}}{j}\right) \middle/ \dbinom{52}{n} \right. \end{align*}
donde:
$n$ número de cartas robadas
$n_a$ número de cartas con valor nominal de $a$
Entonces, el valor esperado del $k^{th}$ tarjeta es:
\begin{align*} \mathbb{E}\left(X_{(k)}\right) &= \sum_{a=1}^{10} a\, \mathbb{P}\left(X_{(k)}=a\right) \end{align*}
Por lo tanto, la respuesta requerida es: \begin{align*} \mathbb{E}\left(X_{(6)}\right)+\mathbb{E}\left(X_{(7)}\right)+\mathbb{E}\left(X_{(8)}\right) &= \boxed{\dfrac{54800638}{1929585}} \approx 28.400219736368 \end{align*}
Aquí hay un código Sage para el cálculo:
n=[4]*10+[16]
nn=8
sum(sum(a*sum(sum([binomial(n[a],i)*binomial(n[a-1]*(a-1),nn-i-j)*binomial(52-n[a]-(a-1)*n[a-1],j) for i in [nn-k-j+1..n[a]]]) for j in [nn-k-n[a]+1..nn-k]) for a in [1..10]) for k in [6..8])/binomial(52,8)
